Бесконечность… или долгая, долгая дорога в небо (продолжение 10)
4. Истина как предчувствие. Очевидность невероятного
(Продолжение)
Об истинном описании
Все эти долгие и порой утомительные разговоры о проблемах физической теории[1] в рамках нашей задачи имеют цель предметно показать неоднозначность и относительную достоверность положительного знания, иррациональность его оснований. Без этой конкретики наши утверждения повисли бы в воздухе, а философия Парменида представилась бы не более чем любопытным археологическим материалом, претендующим быть предтечей гениальных прозрений следующих поколений философов. По нашему убеждению это не так, и интуиции Парменида об истине и о положительном познании имеют далеко выходящий за пределы его исторической эпохи характер, а по своей значимости и глубине превосходят поздние системы, для которых они стали плодотворным источником идей. Разумеется, имеется в виду не мифологизированная форма положительного знания «Доксы», не какие-то частные утверждения «Алетеи», а глубокая интуиция понимания проблемы реальности в её соотношении со знанием, а так же его неоднозначный (теперь можно сказать – дополнительный) принцип подхода к проблеме познания. Принцип, не понятый большинством даже ближайших его последователей, тем же Платоном.
О «координатах описания»
Объективная картина реальности заявлена у Парменида в «Алетейе». Её представляет непогрешимый взгляд божества, по определению способный видеть истину непосредственно, такой, какова она есть. В поэме божественной «Алетейе» противопоставлена «Докса» – отражение реальности через природу смертных. Две природы, божественная и человеческая – два описания, истинное и ложное. Обобщение, которое можно сделать из этой двойственности, таково: любое описание имеет в своём основании природу описывающего, отражая реальность в меру своих особенностей. Очевидно, другая природа представила бы нам какой-то другой, свой вариант.[2] Однако таких широких обобщений сам философ не делает. За него это делаем мы. Мы же утверждаем, что описание, соответствующее природе описывающего, объективно существующего, в определённом смысле может считаться объективным. То есть описание объекта должно соответствовать объективно существующей природе субъекта, его возможностям этот объект воспринимать. В этом случае мы не говорим о непогрешимой истине, ослепительно сияющей на вершине познания, а вводим условное понятие «координат описания», делая его источник критерием и мерой описания реальности в данном конкретном случае. Таким образом, и сам описывающий оказывается включенным в общую картину реальности, сообщая этой картине свою природу как критерий достоверности. При этом мы по-прежнему утверждаем, что реальность это не набор зыбких призраков, сменяющих друг друга по нашей прихоти, а вполне определённая структура.
Скажем больше: описания «вообще» не существует. Описание всегда относительно чего-либо, с точки зрения каких-либо определённых представлений, отражено через призму определённой природы. Соответственно и знание, как отражение описания, определяется природой знающего. Без описывающего описание не то, что становится невозможным, оно не имеет смысла, так как теряет свою точку привязки к реальности, теряет свою определённость. Это не значит, что объективная реальность вне описания не существует, но любая попытка ответить на вопрос, «что это» будет обречена на неудачу. И, наоборот, чтобы задавать этот вопрос, необходим субъект познания, и не потому, что «мысль сама себя не подумает», а потому, что наличие наблюдателя задаёт координаты наблюдения, определяет язык описания, делает описание возможным. И, конечно, описание возможно только в сформировавшейся системе представлений. Иначе это интуиция о том, что можно знать, но никак не знание.
То, что мы называем объективной истиной, должно иметь абсолютную точку отсчёта, предполагать существование абсолютного субъекта наблюдения. Согласно поэме, претендовать на истину может только бессмертная природа олимпийских богов, ведь непогрешимый взгляд бессмертных видит истину непосредственно, такой, какова она есть. Парменид показывает, что она доступна и человеку, и мы догадываемся, что взгляд ума, освобождённого от аффектов чувственного, это взгляд безмолвного ума аскета. Воистину, это божественный ум. Тем не менее, будем безжалостно последовательны и определим такой взгляд как антропоморфный, ведь это убеждение основано на древнем, вряд ли верном представлении о способности чистого ума видеть истину непосредственно. И тогда, на каком основании мы наделяем реальность чертами собственного мышления? Таким образом, то, что заявлено у Парменида как божественная природа и природа смертных – на самом деле одна природа. Точнее, две стороны одной познающей природы. Мы определим её как диалектическое единство атараксии и чувственности. Выйти за эти границы мы уже не сможем: это предел нашего ведения. Мы оказались запертыми в герменевтической ловушке мысли и мыслимого, ибо «в мышлении мысль всегда возвращается к себе, опирается на себя, образуя замкнутый круг мысли и мыслимого». Сверх этого – только откровение.
Возможно ли истинное описание? Математика
Конечно, реальность это не однородная сфера, как нам представляется «по Пармениду». Она имеет структуру, отражение которой мы находим в собственной природе как дальнее эхо существующего. Структура – это информация, следовательно, возможно описание, и, казалось бы, должен существовать тот единственный язык, который однозначно соответствует ей. Возникает вопрос, что надо сделать, чтобы превратить эту безмолвную структуру в знание, что должно быть взято за основу, стать исходным постулатом. Иными словами, необходим критерий описания. Необходимо то слово, которое будет произнесено первым. Здесь и начинаются трудности «истинной» теории.
Универсальным языком, на котором, как говорят, «написана книга природы»,[3] со времён Пифагора считается математика, описание пропорций и соотношений, явленных в гармонической полноте мироздания.[4] Примечательно, что Парменид, который, по всей видимости, был воспитан пифагорейцем, о математике, числах и пропорциях не говорит ни слова. Более того, его утверждение о ложности человеческого знания, знания множественности, исключает эту мысль. Говоря о неделимости бытия и иллюзорности времени, он скорее утверждает обратное. Математике в его системе попросту нет места.
Тема о математике – отдельная, большая, сложная и чрезвычайно интересная, и к настоящему времени об этом написано достаточно самими же математиками. Скепсис в отношении самой точной из наук стал одним из факторов кризиса научного мышления, и произошло это примерно в то же время, когда Шлейермахер написал своё «Об Анаксимандре». Это был один из актов ревизии новоевропейской учёности. В частности математик Морис Клайн в книге «Математика. Утрата определённости» пишет: «То, что математики принимали за абсолютную реальность, уповая на способность своего разума познавать и безошибочно анализировать природу, на поверку оказалось ненадёжными данными чувственного опыта».[5] И. Р. Пригожин убеждённость, что природа записана на математическом языке, называл научным мифом.[6] Словом, математику преследуют те же проблемы, что и всё чувственное познание, и даже максимальное абстрагирование от чувственного неспособно исправить это положение вещей. Так что если математика и оказалась бы в поэме Парменида, то была бы отнесена к области ложного знания. Но это ещё не все беды. Математика показала свою несогласованность, и ореол красоты и гармонии абстрактных математических построений оказался разрушен. По крайней мере, попытки решить эти проблемы обеспечением логической непротиворечивости не увенчались успехом и только вызвали споры о принципах, на которых эти противоречия должны были устранены.[7] Наконец Курт Гёдель в 1931 году опубликовал теоремы о неполноте, доказывающие невозможность существования согласованной научной теории.[8] Споры вызывает и вопрос, какие аксиомы должны быть заложены в основании стройного математического знания. В итоге, из-за разницы философский взглядов на математические проблемы существует несколько вариантов подходов к их решению, фактически существует несколько математик. Таким образом, вопреки уверенности многих поколений учёных, математика не является подлинным языком природы, и автор делает довольно осторожный вывод, что «природа построена не на чисто математической основе, а если такая первооснова и существует, то созданная человеком математика не обязательно соответствует ей».[9] Итак, математика – это законная часть чувственного познания, приготовленная по его рецептам, и игнорирование этого факта не превращают её в божественную науку. Поэтому и богиня о ней не говорит.
Тем не менее, математика оказалась весьма эффективным инструментом познания. Мы помним, как математические формализмы, предложенные Шредингером и Гейзенбергом, получил экспериментальное подтверждение, фактически открыв новую страницу в изучении микромира. Так что математику не удастся сбросить со счетов, хотя рационального объяснения такой её провиденциальной способности нет. Юджин Вигнер в своей известной статье «Непостижимая эффективность математики в естественных науках» пишет: «Математическая формулировка результатов наблюдений физика, часто довольно грубых, приводит в неправдоподобно многочисленных случаях к удивительно точному описанию большого класса явлений».[10] Но, при этом и «некоторые теории, ошибочность которых нам уже известна, дают удивительно точные предсказания. … Однако эти теории оказываются для нас «ложными» только потому, что окончательный анализ показывает их несовместимость с более всеобъемлющей (экспериментальной) картиной мира».[11] Эту эффективность математики Вигнер называет буквально «граничащей с мистикой», утверждая, что объяснения этому факту нет: «Мы не знаем, почему так хорошо работают наши теории. Ибо их точность не может служить доказательством ни их истинности, ни взаимной согласованности».[12] Для нас же вся эта «мистика» подтверждает правильность наших выводов об относительной и достаточной достоверности нашего чувственного познания. Эта «мистика» свидетельствует о надёжной и сложной включённости нашего чувственного опыта в реальность. Назовём это таинством нашего присутствия в мире.
Бесконечность в математике как проблема
Математик М. В. Антипов корнем всех математических бед считает понятие бесконечности. В частности он пишет: «Ненадежность и эфемерность постройки храма познания с его важнейшим крылом – математикой, ощущалась многими исследователями. Но, возможно, лишь некоторые находили причину – идею бесконечности».[13] Наверно было бы поспешно утверждать, что к бесконечности сводятся все проблемы математики, но здесь приоткрывается основная сложность познания, та самая исходная неопределённость, о которой мы с самого начала пытаемся говорить.[14]
Бесконечность – это то, что обладает качеством бесконечного. Это субстантив, представляющий свой объект как некую данность с соответствующими свойствами. Когда мы ставим вопрос о том, бесконечна ли Вселенная, мы имеем в виду именно этот смысл. И этот же смысл подразумеваем, когда говорим о том, что связано с тайной существования человека (см. эпиграф[15]). Конечно, эмоционально бесконечность можно воспринимать и как некое неограниченное пространство, гарантирующее абсолютную свободу движения, но в этом случае лучше и говорить о неограниченности. Так будет точнее. В общем, неограниченность и бесконечность не одно и тоже: бесконечность – то, что, простираясь всё дальше и дальше, не имеет конца, завершения. Неограниченность указывает на те самые неограниченные возможности и имеет потенциальный привкус. Они соотносятся так, что бесконечность гарантирует неограниченность, но неограниченность не создаёт бесконечность, так как никогда не достигает её. Бесконечность – данность, неограниченность – возможность. Бытие и возможность. Так вот то, с чем дело имеет математика, по крайней мере, в русском языке правильно было бы называть «неограниченностью». Действительно, в реальности не существует никаких бесконечных рядов,[16] но существуют неограниченные последовательности, которые имеют свою количественную меру с той особенностью, что всегда есть возможность добавить ещё один элемент.[17] Однако эти последовательности никогда не могут достичь безмерности бесконечности.
Со времён Аристотеля существуют понятия потенциальной и актуальной бесконечности,[18] которые отражают эту разницу, но неаккуратное употребление этих терминов часто вызывает путаницу. Поэтому, несмотря на устоявшуюся терминологию, во избежание этой путаницы, а так же избегая громоздких и неуклюжих уточнений, мы будем различать бесконечность и неограниченность, так же как различают актуальную и потенциальную бесконечности. Понятно, что предмет нашего интереса это именно бесконечность. Бесконечность как данность.
Бесконечность как апория входит в математику в геометрии. Это известная задача о квадратуре круга, которая, как известно, решения не имеет.[19] Николай Кузанский в своём известном трактате «De Docta Ignoranta» («Об учёном незнании»), задачу с квадратурой круга использует как геометрический образ, показывая соотношение положительного и интуитивного познания: неограниченное увеличение числа углов многоугольника, вписанного в круг, не может сделать его тождественным этому кругу. Многоугольник может только «разрешиться» в круг, каким-то спонтанным иррациональным актом.[20] Скажем, озарением. Задача о квадратуре круга наглядно демонстрирует причину отсутствия бесконечности в математике. Эта причина проста: никакое увеличение числа, даже бесконечно (нескончаемо) великое, ни насколько не приближает его к бесконечности. Тем не менее, немногим более чем через столетие Галилео Галилей утверждал, что нашёл решение этой задачи, приняв, что упомянутый нами круг содержит актуально бесконечное число актуально бесконечно малых частей. Это стало прологом к теории бесконечно малых и, последовательно, к дифференциальному исчислению. Мы не собираемся недооценивать итоги сделанного допущения, но будем последовательны, и скажем, что об актуальной бесконечности и в этом случае говорить нельзя, так как реально никакого перехода не происходит. Это скорее прыжок через актуальную бесконечность от одной конечности к другой. Мы просто стираем с доски многоугольник и рисуем на его месте круг, совершая тем самым подмену. Тем не менее, именно это иррациональное математическое «озарение» положено в основу дифференциального исчисления и, соответственно, математического анализа. Галилей прекрасно понимает, какая пропасть лежит между конечным и бесконечным, и высказанную нами формулу о приближении к бесконечности он знает.[21] Однако именно ему принадлежат слова о книге природы, написанной на языке математики.
Словом, бесконечность – это за-математическое понятие, явление иного порядка, другой природы. Бесконечность всегда остаётся за гранью исчислимого, и только невозможность ограничения счёта даёт повод говорить о ней. Можно сказать, что бесконечность – это метафизика математики. Впрочем, бесконечность в математике играет роль топора, из которого солдат сварил кашу, добавив к топору крупу, соль и масло. Топор в «формуле каши» никак не участвовал, он был поводом её сварить. В математике бесконечность – повод, а не предмет осмысления.[22]
Безусловно, трудно переоценить значение открытия дифференциального исчисления для западной культуры. Это один из главных её символов, определивший развитие и успехи европейской науки. Однако помнить, что мина заложена именно здесь необходимо. Мы уже высказывали мысль, что развитие начинается с допущения-ошибки. Даже не ошибки, а просто неполноты представления, свойственной ранним этапам развития, когда результаты подобных допущений ещё не виды (по крайней мере, не видны большинству). Это естественное положение вещей, но забвение сомнительных истоков последующих успехов чревато кризисом с непониманием его последствий. Этот кризис мы и наблюдаем в продолжении более чем столетия. Развивая тему, добавим, что идеальное мышление, основанное на непротиворечивости суждений (впрочем, никогда не достижимой), вряд ли способно приносить практические плоды, ибо любое положительное утверждение может быть снято неизбежным противоречием, причина которого коренится в исходной неопределённости. Речь идёт только о суждениях, об описании реальности, но не о самой реальности.[23]
(Продолжение следует)
[1] Мы проигнорировали неравенства Леггета, не выполнение которых ставит под вопрос уже нелокальность, но затягивать эту историю было бы нецелесообразно, так как наша задача скромней и не предполагает разбор всей полноты физических проблем. Впрочем, итоги работы группы Павла Бласяка, показавшей, что для определённого типа бозонов неравенства Белла выполняются, позволили нам с чистой совестью забыть о неравенствах Леггета.
[2] Как связана природа наблюдателя и его описание Парменид пытается показать во фрагменте 16ДК. Пусть нас не смущают подобные архаичные представления: связав понимание с природой человека, Парменид, безусловно, прав.
[3] Эти слова принадлежат Галилео Галилею.
[4] По Пифагору числом определяется и сущность вещей, и космический порядок. Пифагору приписывается фраза: «Всё есть число».
[5] Морис Клайн. «Математика. Утрата определённости», – М.: «Мир», 1984г, с. 356. Эпиграфом к своей книге автор избрал слова Ксенофана, которые и мы не раз цитировали.
[6] Илья Пригожин, Изабелла Стенгерс. «Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой». – М.: Прогресс, 1986. с. 89.
[7] Клайн пишет: «Над головами математиков, подобно дамоклову мечу, висит нерешённая проблема доказательства непротиворечивости всей математики». Там же, с. 358.
[8] Первая теорема Гёделя: «Если любая формальная теория непротиворечива, то она неполна». Вторая теорема Гёделя: «Непротиворечивая теория не может доказать собственную непротиворечивость».
[9] Морис Клайн. «Математика. Утрата определённости», с. 13.
[10] Ю. Вигнер, «Непостижимая эффективность математики в естественных науках». //«Успехи физических наук», том 94, вып. 3, 1968г., с. 541.
[11] См. там же, с. 545. Вигнер в качестве примера приводит теорию свободных электронов (с. 546). Действительно, мы даже не знаем, что такое электрон и не является ли этот воображаемый «отрицательно заряженный шарик» вольным изобретением нашего ума (является, вспомним корпусклярно-волновой дуализм). Вопреки теории никакие электроны не несутся со скоростью света по проводам, а то, что происходит на обкладках конденсатора, вообще не поддаётся разумному объяснению. Однако все законы электротехники исправно работают, а расчёты соответствуют практическим результатам. Теория удобна, подтверждена практикой, и менять её на что-то иное не имеет практического смысла.
[12] Там же, с. 536.
[13] М. В. Антипов, «Принцип ограниченности», глава 1. Среди этих некоторых, прежде всего надо назвать Давида Гильберта. В 1926 году он писал: «Математическая литература … изобилует бессмыслицами и нелепостям, в которых в большинстве случаев повинна бесконечность». Гильберт Д. Избранные труды. Т. I. — М.: «Факториал», 1998., с. 432.
[14] В предисловии своей работы Антипов так же развивает тему иррациональной основы нашего знания. Привожу эту яркую цитату полностью: «Начиная с Евклида (если не ранее) многочисленные теории, причем не только математические, с ходу предваряются определениями, появление которых так же неожиданно, как и неясно. Теория либо умалчивает о колыбели их возникновения, либо ссылается на столь же грешные первоисточники, либо в сносках настаивает на необязательности и преждевременности вполне понятных недоумений, поскольку де последующее укрепит исходное и снимет возможные возражения. Наивным и неискушенным прозелитам не остается ничего иного, как покориться. Заметим, что хотя подобные обещания теориями никогда не выполняются, на основании внушенного экстраполяционного доверия к правоте таких построений действительно возникает мысль о естественности вторжения жестких определений на зыбкую почву полной изначальной неясности. Тщательно взращенный эффект запечатления рождает затем стойкое убеждение о всеохватности разума, создающего истину из подозрительных кирпичей собственного производства. Но ложно соображение, что, отталкиваясь от неопределенного, можно достичь абсолютности». М. В. Антипов, «Принцип ограниченности», глава 1.
[15] Это цитата Г.В. Чефранова: «Бесконечность – это что-то невообразимо сложное, таинственное и, вместе с тем, имеющее прямое отношение к самому смыслу существования человека».
[16] Теорию множеств сейчас не трогаем.
[17] Вспоминается шутка, слышанная мной в студенческие годы: «В любой, сколь угодно переполненный автобус может влезть хотя б ещё один пассажир».
[18] Сам философ эти термины не вводил. Они результаты усилий интерпретаторов.
[19] Несмотря на очевидную нерешаемость задачи квадратуры круга, над ней трудилось не одно поколение математиков, пока в 1775 году сначала Парижская, а затем и другие академии не перестали принимать подобные работы для публикации.
[20] «Не являясь истиной, наш разум никогда не постигает истину так точно, чтобы уже не мог постигать её всё точнее без конца, и относится к истине, как многоугольник к кругу: будучи вписан в круг, он тем ему подобнее, чем больше углов имеет, но даже при умножении своих углов до бесконечности он никогда не станет равен кругу, если не разрешится в тождество с ним». Николай Кузанский. Сочинения в 2-х томах. Т. 1. – М.: «Мысль», 1979 г., с. 53.
[21] При этом видит шире, чем это представлено у нас и утверждает, что увеличение числа только удаляет его от бесконечности. Следуя за Кузанским, точнее его принципом диалектического совпадения минимума и максимума в единице (едином), он утверждает единицу как число, совпадающее с бесконечностью. (См. Пиама Гайденко. История новоевропейской философии в ее связи с наукой. — М.: ПЕР СЭ; СПб.: Университетская книга, 2000., с. 71.) Однако смысл этого совпадения не математический и даже благодаря этому принципу бесконечность в математику попасть не может.
[22] Подкрепим наш вывод цитатой Давида Гильберта: «Подобно тому, как в процессах предельного перехода исчисления бесконечно малых удалось обнаружить, что бесконечное в смысле бесконечно малого и бесконечно большого есть всего лишь способ выражаться, бесконечное в смысле бесконечной совокупности там, где оно еще и ныне встречается в рассуждениях, мы должны трактовать лишь как нечто кажущееся. И аналогично тому, как оперирование с бесконечно малыми было заменено операциями с конечным, дающими в точности те же самые результаты и приводящими к абсолютно тем же самым элегантным формальным соотношениям, рассуждения с использованием бесконечного должны быть вообще заменены оперированием конечными операциями, в итоге дающими то же самое, иначе говоря, позволяющими проводить те же самые доказательства и развивать те же самые методы получения формул и теорем». Гильберт Д. Избранные труды. Т. I. — М.: «Факториал», 1998., с. 432.
[23] Процитируем Гильберта ещё раз: «Противоречить друг другу могут только высказывания и допущения, … и мне кажется, что мнение, будто факты и события сами могут впадать в противоречие друг с другом, является классическим примером бессмыслицы». Гильберт Д. Избранные труды. Т. I. — М.: «Факториал», 1998., с. 433.
Необходимо зарегистрироваться, чтобы иметь возможность оставлять комментарии и подписываться на материалы
