Онтологические прогулки

Заметки о сущности и возможностях математики в свете учений Николая Кузанского и Иммануила Канта

Современное естествознание не мыслимо без математики так же, как и без эксперимента. Уже Кант стал утверждать (может быть, излишне категорично), что «в любом частном учении о природе можно найти науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней математики»[1]. Но так было не всегда. В истории становления классической европейской науки было и господство схоластических методов познания с опорой на формальную логику и «незыблемый» авторитет священных текстов и сочинений Аристотеля. Был и резкий крен в сторону опытно-эмпирических методов, обоснованный в начале XVII века Ф. Бэконом, и долгий спор между рационалистами и сенсуалистами об источниках познания (например, между Дж. Локком и Г. Лейбницем). Только к началу ХХ столетия математика по-настоящему стала «царицей наук», сместившей на этом престоле метафизику, столетиями не знавшей конкурентов. Кажется, Макс Планк (1858-1947) был первым в истории физики ученым, которому для изучения природы не требовалось ничего, кроме пера, чернил и листа бумаги: математические расчеты заменили ему и авторитеты прошлого, и чувственный опыт. Так формальная логика схоластов уступила место логике математической, но такой, которую стали проверять экспериментально и разрабатывать на основе полученных результатов технологии по созданию самых разных «чудес ХХ века» (от ядерного оружия до идеи квантового компьютера), буквально перевернувших не только наши представления о мире, но сам мир, в котором живет человечество.

<- Николай Кузанский

Одним из «первопроходцев» в процессе математизации науки по праву можно назвать не естествоиспытателя или математика, а теолога и философа эпохи Возрождения кардинала Николая Кузанского (1401 – 1463), выходца из Южной Германии, родившегося в местечке Куза (отсюда и прозвище – Кузанец). Разумеется, Николай Кузанский был далеко не первым «математизировавшим» мыслителем в истории. Эта традиция уходит своими корнями в глубокую древность Египетской и Шумерской цивилизаций. Свое развитие она получила в той же Кабале древнееврейских мудрецов, а также у вавилонян. Согласно легенде, именно у них, египтян, евреев и вавилонян, долгие годы учился (не то в качестве пленника, не то добровольного слушателя) Пифагор (VI до н.э.), после чего основал в греческой колонии на юге Италии в г. Кротоне собственную школу. Пифагор и его многочисленные последователи усматривали сущность мира в числе, и пытались объяснить всё сущее математическими закономерностями. Многое у Пифагора перенял Платон. Недаром над входом в его школу были начертаны слова: «Не геометр да не войдет». Но Николай Кузанский был первым, кто попытался обосновать математическими средствами систему религиозной онтологии, применив для этой цели «математическую диалектику» (назовем это так). Впрочем, вопрос о влиянии Кузанца на развитие классической европейской науки далеко не простой.

С одной стороны, еще Эрнст Кассирер в работе «Индивидуум­ и космос в философии Ренессанса» (1927), затем А.Ф. Лосев в «Эстетике Возрождения» (1988), П.П. Гайденко в «Эволюции понятия науки (XVI–XVII вв.)» (1987), а также­ «Истории новоевропейской философии в ее связи с наукой» (2000) подчеркивали влияние идей Н. Кузанского на развитие математики, в частности, влияние принципа «совпаде­ния противоположностей» (понимание Бога как единства абсолютного максимума и абсолютного минимума) на создание дифференциального исчисления, а также связь рассуждений Кузанца об­ «опытах с весами» на постепенное соединение «механических» и ма­тематических методов научного познания.

С другой стороны, И.С. Кауфман в статье «Николай Кузанский и история развития математики», на мой взгляд, достаточно убедительно показывает, ссылаясь (в частности) на работу американского историка математики Дж. Хойрупа, что «говорить­ о каком-либо месте Николая Кузанского в истории математики невоз­можно». Можно лишь констатировать, что Кузанец использовал язык математики для большей ясности и убедительности в изложении своих теологических и философских идей. Среди математиков XV в. и других столетий последователей Николая Кузанского найти невозможно, если не считать единичного упоминания [его имени] у Декарта. Инфинитезимальный анализ Кавальери, ­Лейбница и Ньютона развивался в сходном направлении [надо думать, в сходном с направлением мысли Н. Кузанского – А.Ч.]. Однако и ­здесь рассуждения Кузанца вряд ли можно считать предвосхищением последующей математики^[2]. Вот такой спор историков философии с историками математики.

Нетрудно заметить, что участники этого спора говорят о разновеликих вещах. Первые, основываясь на сочинениях Н. Кузанского, показывают, как в эпоху Возрождения менялись методы философского осмысления и взгляды на мир и место в нем человека, и как это повлияло на развитие европейской науки в целом, при этом, конечно, затрагивают и вопрос о развитии математики. Вторые обсуждают вопрос, был ли Н. Кузанский первооткрывателем в области математики и, в частности, какова его роль в становлении математического анализа.

На мой взгляд, вряд ли можно назвать Кузанца математиком-исследователем, поэтому обсуждать его вклад в развитии «чистой математики» бессмысленно. Но было бы вульгаризацией представлять влияние чьих-либо идей на уровне цитирования трудов того или иного автора. Можно не ссылаться на труды того или иного мыслителя, но отгородиться от когда-либо высказанных им идей невозможно. Их восприятие даже плагиатом нельзя назвать. Недаром говорят, что идеи «носятся в воздухе», принадлежа всем и никому в отдельности. Тот же Бонавентура Франческо Кавальери (1598-1647), итальянский математик, предтеча математического анализа, жил в Италии, когда имя Николая Кузанского еще было у многих на устах. Так же не известны какие-либо упоминания сочинений Кузанца у Канта. Вполне возможно, что прямого влияния и не было, так как сочинения Н. Кузанского после их негласного запрета Ватиканом не переиздавались до 70-х годов XIX века. Однако без Кузанца не было бы и Канта, хотя влияние первого на второго могло быть только весьма и весьма опосредованным, и проследить поименно эту «цепочку» вряд ли возможно.

Гораздо важнее, что Н. Кузанский радикально поменял прежний, схоластический, взгляд на мир и место человека в нем. Если Фома Аквинский обосновал тождество бытия и Бога^[3], то Кузанец – тождество Бога и человека как творца. Без этого ни о каком становлении классической европейской науки не могло быть и речи. В том числе о разработке и использовании математических методов, включая математический анализ, в познании природы. В этом отношении уже упоминавшаяся идея Н. Кузанского о совпадении противоположностей (абсолютного максимума и абсолютного минимума) в области познания действительно не только предвосхитила появление инфинитезимального анализа Кавальери, Лейбница и Ньютона, но даже – в плане применения этого метода в философском осмыслении мира – опередила их на целые столетия: как известно, разработки в области математического анализа XVII-XVIII вв. полтора-два столетия «дожидались» своего применения в решении каких-то конкретных задач наук о природе и техники. Это стандартная ситуация в истории познания мира: мифология опережает развитие науки на тысячелетия (а, может быть, на всю историю человечества), а философия в лице гениев – на столетия. И это не вопрос об амбициях, мол, кто «умнее» – создатели мифов, философы, математики или естествоиспытатели? Это вопрос о принципах, основных идеях, ступенях и направлениях научных исследований: практика – образ – понятие – число – и вновь практика. Почти по Ленину: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике – таков диалектический путь познания истины, познания объективной действительности»^[4]. Таковы объективные законы процесса познания, которые никакими профессиональными и личными амбициями не определяются. Это только О. Конт (1798-1857) по молодости мог вообразить, что религию и философию (метафизику) надо отправить «на свалку истории», а все проблемы человечества и без них решит «позитивная» наука. Правда, с возрастом он понял, что горько ошибался, но каждое поколение вот уже почти два столетия то и дело повторяет его «ошибку молодости».

Можно бесконечно долго спорить о степени влияния идей Кузанца в появлении математического анализа, но то, что именно он первым очертил границы применения математических методов в познании мира конечно/бесконечных вещей через их противопоставление абсолютной бесконечности бытия, – это легко доказывается текстуально. А ведь определение границ предмета той или иной науки равнозначно определению самого предмета этой науки. Поэтому Кузанца совершенно справедливо называют среди тех, кто положил начало процессу математизации, если не естествознания, то по крайней мере онтологии, который получил свое развитие в философии и естественнонаучных изысканиях Рене Декарта, пантеизме Бенедикта Спинозы, классических трудах Исаака Ньютона и его главного соперника в науке XVIII в. Готфрида Лейбница. Наконец, наиболее развернутое философское обоснование она получила в критическом рационализме И. Канта.

                                                                                                     Иммануил Кант →

В «Критике чистого разума» (1781) Кант дал необычный и очень непростой ответ на вопрос «Как возможна математика?». Суть кантовского ответа такова: математика покоится на априорных формах организации внешних и внутренних ощущений субъекта познания, а именно: 1) времени, благодаря чему возможен счет и вообще сама человеческая мысль, поэтому Кант и пишет: «Время есть форма [существования] мысли»[5]; 2) пространства, благодаря чему возможна геометрия. Пространство, таким образом, оказывается формой деятельности человека. Кантовская трактовка времени и, соответственно, пространства – это, пожалуй, самое трудное, в т. ч. психологически, для понимания положение во всей «Критики чистого разума». Оно буквально «ошарашивает» обывателя, который с рождения воспринимает пространство как нечто реальное, объективное, как сферу своего существования. Представления людей о времени, конечно, не столь наглядны, но и в этом случае человек чувствует, скорее, себя, пребывающим во времени, а вовсе не время в себе.

Определив время, как изменчивость мира по отношению к постоянству созерцающего Я^[6], Кант очень многих озадачил этим весьма загадочным определением: то ли это лишь метафора, то ли строгая философская дефиниция (а философские дефиниции, если они корректны, не менее строги и точны, чем математические формулы). Одним из первых более или менее адекватно эту дефиницию Канта образно интерпретировал, пожалуй, только, Шопенгауэр, сравнив время с неподвижный утесом, вечно омываемым беспокойными волнами[7], правда, усмотрел в этом положении Канта едва ли не главный аргумент в пользу субъективно-идеалистического тезиса о том, что «Мир есть моё представление». Неслучайно в образном сравнении Шопенгауэра нет ключевого слова – «созерцание», семантический анализ которого показывает, что всякое со-зерцание (через дефис) есть процесс двусторонний. Здесь корневым является «зерцало» как отражение мира в человеке и человека в мире. В созерцании человек и мир как бы смотрят друг на друга. В этом коренное отличие представления «онтологического одиночки» от диалогичности созерцания.

В чем же причина столь трудного уразумения кантовского понимания времени? На мой взгляд, причина в недоговоренности и нерешительности философа, напомнивших мне поведение кота на кухне, который ходит вокруг сметаны, а лизнуть не решается, боясь получить нагоняй от кухарки. Недаром Хосе-Ортега-и-Гассет как-то заметил, что вся современная философия, начиная с Канта, выросла из семени страха перед ошибками, перед боязнью быть обманутым[8]. В этом замечании испанца есть доля истины: в философии Канта чувствуется какой-то страх (а, может быть, трепет?), но не перед ошибками, а, скорее, перед бытием; страх, который фрейдисты толкуют как подсознательный конфликт между необузданными чувствами и категорическими запретами[9]. Так, говоря о трансцендентном Я, данном нам самим исключительно в явлении[10], Кант никогда не решался напрямую назвать его Я-бытием, той самой «вещью-в-себе», которая у Канта стала неким эвфемизмом понятия «бытие». В сущности, именно с Канта и началось «бегство от бытия», которое потом стало очевидным в позитивизме Огюста Конта, у Ф. Энгельса, «заменившего» бытие материей, у неокантианцев, утверждавших, что ценности бытия не имеют, и получило своё завершение в логическом позитивизме ХХ века и так называемой «философии» науки. В последнем случае от философии остались «рожки да ножки»: вся метафизическая проблематика, связанная с диалектикой бытия и существования, была объявлена «запретной зоной»: осталась одна логика. Назови Кант «вещи своими именами», тогда, может быть, всё было бы предельно ясно и с кантовским пониманием времени/пространства.

Я-бытие по определению есть нечто неизменное, тогда как мир существования конечных вещей пребывает в вечном движении, как противоречивом единстве изменчивости и покоя. Только в этом случае созерцающее Я и может фиксировать изменчивость мира во времени и выражать эту изменчивость посредством числа (да и понятия вообще) *[11]. Иначе говоря, если и есть в сущем (и, соответственно, во всяком познании) некая константа, то это отнюдь не скорость света в вакууме, а постоянство трансцендентного Я по отношению к изменчивости мира существования. Еще Аристотель, связав феномен времени со способностью считать, предположил, что всякий счет неизбежно предполагает того, кто считает[12]. Кант же заявил об этом со всей категоричностью и указал на способность человека строить числовой ряд и соответственно, измерять время и пространство как на субъективное основание математики вообще. Все остальные математические построения базируются на этом отношении изменчивости и протяженности существования конечных вещей к постоянству Я-бытия.

То, что у Канта выглядит как субъективное основание математики, поскольку связано с субъектом (а большинство читателей понимают кантовскую мысль именно так), на деле оказывается основанием объективным. Причем, в двух отношениях; во-первых, как то, что обусловлено неизменностью Я-бытия; во-вторых, связанное с изменчивостью существования конечных вещей. Априорные формы организации внешних и внутренних ощущений есть не что иное как отношение Я-бытия и существования конечных вещей. Так спустя столетия в критическом рационализме Канта получило свое теоретическое обоснование предположение Аристотеля о том, что время есть нечто исчисляемое, а стало быть, должен быть тот, кто оперирует числом (по-другому, считает), т.е. субъект, обладающий душой и разумом.

Кантовское решение вопроса об онтологическом основании математики, в свою очередь, позволяет ответить и на другой вопрос: «А в чем, собственно, состоит сущность математизации естествознания?» Для уразумения этой сущности напомню великий, продолжающийся по сю пору спор между Платоном и Аристотелем. Если Платон полагал, что сущностью всякой вещи является идея, как некое отношение, точнее, совокупность отношений данной вещи ко всем иным существующим вещам, то Аристотель утверждал вторичный, подчиненный характер отношений, «отдавая пальму первенства» тому, какова вещь по своей (материальной) природе, хотя при этом особо подчеркивал активный характер идеальной формы вещи (аналога платоновской идеи). Это спор между теми, кто убежден, что именно отношения «образуют» вещи (нет отношений – нет и вещей), и теми, кто утверждает, что вещи одним своим материальным существованием обуславливают наличие отношений между собой (нет вещей – нет и отношений)[13]. С новой силой этот спор разгорелся на рубеже XIX-ХХ веков в связи с принципами квантовой механики (физики), когда вещи, физиологически недоступные человеку посредством чувственного восприятия (элементарные частицы, кварки, субкварки, а также их «поведение»), стали предметом исключительно математического описания этих явлений природы[14].

Вопрос о бытии Бога как единстве абсолютного максимума и абсолютного минимума и конечном существовании вещей был для Н. Кузанского прежде всего вопросом о свободе бытия человека. Иначе говоря, для Кузанца это в первую очередь вопрос экзистенциальный, а не математический. В трактате «О видении Бога» Николай Кузанский так описывает диалектический процесс взаимного «видения» Бога и человека: «Кто удостоился видеть твое лицо, тому поэтому все открыто и ничего для него не остается тайной – он все знает. Всё есть у того, у кого есть Ты; всё есть у того, кто Тебя видит: ведь всякий видящий Тебя имеет Тебя; никто не может приступить к Тебе, потому что Ты неприступен, и никто не вместит Тебя, если ты не даруешь себя. Как же я владею Тобой, Господи, если я недостоин даже появиться перед твоим лицом? <…> Ты будешь моим, лишь когда я стану самим собой. Ты требуешь моей свободы, раз не можешь быть моим, пока я сам не буду принадлежать себе; и, предоставив это моей свободе, Ты не понуждаешь меня, а ждешь, когда я решусь быть самим собой.»[15]

Было бы ошибкой видеть в приведенном фрагменте только экзальтированную исповедь автора. Философская (онтологическая и гносеологическая) суть его состоит в том, что всякое познание есть самопознание бытия, опосредованное миром конечных вещей, движение мира и человека навстречу друг другу. Только при этом условии возможно не только религиозное, но и всякое (в том числе научное) познание: «Итак, необходимо, чтобы знанию чего-нибудь одного предшествовало знание целого и его частей. А поэтому, не зная Бога, который является первообразом всего в мире, ничего нельзя знать о мире, а не зная мира, ничего нельзя знать очевидно об его частях.»[16]

Философию Николая Кузанского часто называют пантеизмом, идеи которого позднее получили своё развитие в работах мыслителя эпохи Возрождения Джордано Бруно, сожженного инквизицией в 1600 году, и философа-изгоя Нового времени Бенедикта Спинозы. Именно из-за подозрений в пантеизме, который как бы уравнивал Творца и тварный мир, работы всех трех попали в ватикановский индекс запрещенных книг. Однако пантеизм Кузанца особенный. Правильнее было бы называть его панентеизмом: мир пребывает в Боге, а не Бог – в мире. Природа божественна, а не Бог – природен. Являясь личностью, Бог лишь проявляет себя в мире, не будучи ему имманентен. На мой взгляд, в панантеизме Н. Кузанского особенно важны два момента:

Во-первых, диалектический характер отношения Бога и природы, в котором одна сторона (разумеется, Бог) первична, творящая, присутствующая в природе подобно присутствию автора в своем творении как его инобытие. Редко кто (даже классики диалектики Гегель, Маркс, Энгельс, Ленин) акцентирует внимание на том, что важнейшим принципом диалектики является асимметрия противоположностей, благодаря которой, собственно, и возможно развитие как таковое, а не вечная и «оцепеневшая схватка» холодного и горячего, верха и низа, темного и светлого, мужского и женского. Всегда одна из сторон диалектического противоречия оказывается, пусть даже временно или ситуативно, ведущей.

Во-вторых, применительно к процессу познания единство Бога и природы у Николая Кузанского предусматривает активную роль человека, который оказывается не просто сотворенным по образу Бога, но и со-творцом своего мира. В последнем обстоятельстве невозможно не видеть предвосхищение кантовского «коперниканского переворота» в философии, а именно – учения об активной роли субъекта в процессе познания, который благодаря априорным формам чувственности и рассудка, а также идеям разума «рисует картину» мира, в котором живет. Кантовское учение об априоризме математики вряд бы стало возможным, если бы к XVIII веку не утвердилась мысль Кузанца о человеке как со-творце мира, который – подобно Богу – использует арифметику и геометрию, а именно так (буквально) и пишет о Боге Николай Кузанский: ­Бог «пользовался при сотворении мира арифметикой, геометрией, музыкой и астрономией, всеми искусствами, которые мы также применяем, когда исследуем соотношение вещей, элементов и движений»^[17]. Диалектика бесконечного и конечного в философии Н. Кузанского оказывается обоснованием не столько всемогущества Бога, сколько могущества частного (понятно, что «на прицеле» у философа – могущество человека): «…каждая вещь в едином есть само это единое, а оно – и единое, и всё, и, значит, любая вещь в нем, есть всё»[18]. Здесь конечное оказывается конкурентом бесконечного.

Такое понимание Кузанцем бытия предопределило и его характеристику сущности человеческого (не божественного) ума, посредством которого человек, познавая мир, прежде всего его измеряет (в скобках замечу, что спустя столетия Кант, выстраивая свою систему категорий чистого рассудка, начинает ее с понятия «КОЛИЧЕСТВО» и только во-вторых указывает понятие «КАЧЕСТВО»[19]). Иначе говоря, ум человеческий, с точки зрения Кузанца, начинается, условно говоря, с математики (с понятия «Единица»): «Ум – это то, откуда возникла граница и мера всех вещей»^[20]. Но – в отличие от разума как высшей ступени интеллекта – математика может иметь дело только с конечными вещами безотносительно к их пребыванию в едином бытии, поскольку «всякая измеримая вещь находится между максимумом и минимумом»[21]. И.И. Эвлампиев так интерпретирует мысль Кузанца: «Ум – это способность разделять вещи, изолировать их друг от друга и тем самым создавать возможность для их количественного измерения. Причем сравнение и точное количественное измерение объектов означает, что они приведены к форме конечности <…> Рационально познаваемая система объектов располагается «между» двумя полюсами: полной (бесконечной) сущностью отдельной вещи и абсолютной бесконечностью божественного Всеединства <…> все математические объекты определяются как конечные структуры и с ними разрешается проводить только осуществимые за конечное время процедуры»^[22].

Из характеристики Кузанца «измеряемых вещей», которые находятся «между максимум и минимумом» следует, что такие «объекты», как «ничто» и «бесконечность», вообще не могут быть исчисляемы и потому не могут быть предметом математики. Хотя в ней существуют эти понятия, и даже есть соответствующие математические символы (0 и ∞), они, скорее, очерчивают рамки, или границы, предмета математики. В сущности, об этом говорят и сами математики, хотя приходят к такому заключению своим, математическим, а не философским путем. Так, французский математик Лонэ Микаэль в «Большом романе о математике», в котором исследует историю мира через призму математики, пишет следующее: «…  используемые определения нуля и бесконечности в данном контексте недостаточно точны и не могут быть использованы в дальнейшем. Такие произведения как ∞ × 0, результат которых изменяется в зависимости от его интерпретации, называют неопределенной формой. Невозможно использовать эти формы в алгебраических вычислениях, так как мы сразу столкнемся с тысячами парадоксов! Если бы мы стали применять умножение ∞ × 0, то тем самым пришлось бы признать, что 1 равно 2 и т. д.»^[23]

На мой взгляд, этот и множество других парадоксов, о которых так занимательно пишет Лонэ Микаэль, порождены в корне неверным (или, скажем мягче, условным) в отношении физического мира математическим понятием точки как мнимой величины. В реальном мире «материальная точка» (а именно это понятие используется в современной физике), – сколь бы малой она ни была, – никогда не может быть равна 0. В противном случае мир конечных вещей попросту не мог бы существовать и, следовательно, измерять было бы просто нечего (да и некому). Аналогичным образом обстоит дело и с бесконечностью. Почему математик не может оперировать понятием бесконечности (в точном смысле этого слова)? Потому что математика всегда имеет дело с миром существования конечных вещей, а не гипотетически вечным и бесконечным бытием. Математик не «Бога измеряет», а то, что существует как система отношений между конечными, сколь угодно большими, но всё же не бесконечными вещами. Бесконечность в принципе неизмеряема, а потому методы математики к ней не применимы.

Может быть, неожиданным и даже глупым покажется иному читателю вопрос «Является ли вообще математика наукой?» и, соответственно, «Является ли математизация естествознания признаком научности?». Это своего рода антитезис уже приводимому выше утверждению Канта о том, что в науке ровно столько науки, сколько в ней математики. Проблема далеко не новая. Дискуссии на тему: обладает ли математика стату­сом scientia (то есть знания, охватывающего одновременно причину ­и следствие), является ли математика гарантом истины, и относится ли математическое доказательство к наибо­лее совершенному и безусловному типу доказательства (demonstrati o­potissima) – начались еще в середине XVI столетия и продолжались весь XVII в. История философии представлена в данной полемике Гассенди, Гоббсом ­и Декартом, математика – такими выдающимися математиками, как Барроу и­ Валлис^[24]. С новой силой эти дискуссии возобновились в связи с появлением квантовой физики, а также вопросом о статусе научности гуманитарного знания.

Прежде всего хочу заметить, что сама поставка вопроса о научности математики как scientia (то есть знания, охватывающего одновременно причину ­и следствие), а также как о гаранте истины некорректна, поскольку, во-первых, хотя наука и не сводится только к выявлению причинно-следственных связей, но уже с этой точки зрения, чистая математика сразу выбывает даже из претендентов на статус науки, ибо никаких причинно-следственных связей в мире вещей она вообще не исследует. Во-вторых, гарантией, или абсолютным критерием истины, никакая логика, в том числе математическая, быть не может. Даже практика, которую в марксизме справедливо называют высшим критерием истины, и та не является критерием абсолютным. Такового у человечества никогда не было, нет и, очевидно, никогда не будет. Вопрос надо ставить иначе: что может дать человечеству в плане познания мира математика (и, соответственно, математизация естествознания), а чего она в принципе дать не может?

Математика (в отличие от физики) потому и существует как внеэмпирическая наука, что она намеренно отвлекается от качества вещи (безразлична ему), фокусируя все внимание на количественной стороне вещи. Чистая математика только подходит к качеству, но подобно слепому как бы не замечает его, а потому не доходит до самой вещи, опираясь в своих изысканиях исключительно на априорные принципы логики и воображение, которое, по Канту, «манифестирует свою глубочайшую свободу в отражении формы объекта, оно «как бы играет, наблюдая (данную) фигуру», становится продуктивным и самодеятельным воображением «как создателем произвольных форм и возможных созерцаний»[25]. В этом смысле чистая математика – это самая субъективная и самая фантастическая (предвосхищающая и вариативная) из всех наук.

Чем же в таком случае занимается математик? Вымышленным им миром? Разумеется, нет. Как уже подчеркивалось, математик всегда описывает количественно систему отношений, в которой пребывает или может пребывать «материальная точка». И не просто «пребывает»: именно эта система отношений задает ее качество или, по Гегелю, тождественную с бытием определенность вещи; то, что отличает одну вещь от другой[26], которое всегда носит системный характер. Что касается свойств (как проявлений качества любой вещи), то и в этом случае речь всегда идет об отношении данной вещи к другой. Например, вес какого-либо предмета в земных условиях – это притяжение массы данного предмета к массе Земли, блеск – это способность предмета отражать световые лучи, цвет – способность поверхности поглощать почти весь спектр, кроме одной отражаемой определенной длины волны и т.д. *[27]

Секрет универсальности математики как средства познания природы состоит в том, что это наука о количественной, а не качественной определенности сущего. В этом ее сила, но в этом и ее слабость, ибо количество есть способ, каким существует качество (и наоборот). Не менее, но и не более того. Иллюзия пифагорейцев, как и их горячего сторонника и последователя Н. Кузанского, о том, что мир можно познать исключительно математическими средствами, вся основана на том, что качество вещи у них отождествляется с самой вещью. Неправомерность такого отождествления подчеркивал еще Ф. Энгельс, утверждая, что реально существуют вещи, обладающие качеством, а не качества сами по себе^[28]. Единственное, но принципиальное уточнение или дополнение, которое требуется этому утверждению, можно выразить так: качество (как нечто идеальное) не менее реально, чем сама вещь, хотя и не вещь; оно есть система отношений данной вещи ко всем другим, имеющимся в мире существования. В сущности, качество – это идеальная форма (в Аристотелевском значении этого слова) существования вещи *^[29].

Поскольку чистая математика всегда отвлекается от качества вещи, то ей не доступно самое главное понятие любой области естествознания – мера существования вещи как единство качества и количества. По этой причине чистая математика не может быть наукой о природе, однако она была, есть и будет всегда важнейшим средством и языком науки. А вот прикладная математика – это не только важный, хотя и не единственный, язык естествознания, но еще и язык моделирования реальности. Кстати, Н. Кузанский очень тонко уловил этот «моделирующий» аспект математики: «Как божественный ум является формой реального мира, так человеческий ум – формой мира предположений»[30].

В заключение, возвращаясь к вопросу о месте и роли онтологии Николая Кузанского в истории классической европейской науки, подчеркну, что дело не в том, подготовили или нет математические приемы философствования Кузанца появление математического анализа, а в том, что математизации естествознания едва ли была бы возможна, если бы на исторически определенной ступени развития европейской цивилизации (в эпоху Возрождения) не было бы философского – облеченного в теологическую форму, как у Кузанца, – осмысления и понимания диалектики бытия и мира конечных вещей (существования), которые в силу их конечности могут быть описаны и даже смоделированы математически, причем, исключительно свободно мыслящим и творческим субъектом.