Проза

 

 

Эпизод 10-2

Постижение иррационального

 

 

 

                                                                       Tempvs omnia revelat

 

По легенде открытие иррациональных чисел принято связывать с именем Пифагора или с одним из его учеников, который, рассматривая квадрат со стороной равной единице, обнаружил явление несоизмеримости стороны и диагонали. Долгое время это открытие держалось пифагорейцами в строжайшей тайне, так как оно расходилось и их учением, согласно которому космическая гармония и все сущее может быть выражено через рациональное отношение чисел.

Много позже, когда получили широкое распространение десятичные дроби, число √2, как и другие корни, несводимые к целым числам, научились находить со сколь угодно большой степенью точности. Однако, если мы взглянем на современную теорему, доказывающую иррациональность √2, то обнаружим, что в ее основе лежит все та же теорема несоизмеримости, доказанная пифагорейцами более двух тысяч лет назад методом от противного (ad absurdum) при рассмотрении четных и нечетных чисел.

Зная о том, что пифагорейцам не были знакомы десятичные дроби, зная, что они не пользовались даже обыкновенными дробями, так как единица была для них «числовым атомом», то есть неделимым числом, можно лишь удивляться подобной прозорливости древних математиков. Ведь они сумели доказать теорему существования иррациональных чисел, которая до сих пор применяется во многих математических доказательствах. Итак, рассмотрим эту теорему более подробно.

 

 «Теорема I: не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.

Доказательство будем проводить методом от противного. Предположим, что существует рациональное число m/n, квадрат которого равен 2:

(m/n)² = 2.

Если целые числа m и n имеют общие множители, то дробь m/n можно сократить, поэтому мы в праве сразу же предположить, что данная дробь несократима. Из условия (m/n)² = 2 вытекает, что m² = 2n².

Поскольку число 2n² четно, то и число m² тоже должно быть четным. Но тогда будет четным и число m. Таким образом, получается, что число m = 2k, где k — некоторое целое число. Подставляя число 2k в формулу m² = 2n², получаем: 4k² = 2n², откуда n² = 2k².

В таком случае число n² будет четным; но тогда будет четным и число n. Выходит, что числа m и n четные. А это противоречит тому, что дробь m/n несократима. Следовательно, наше исходное предположение о существовании дроби m/n, удовлетворяющей условию (m/n) ² =2, неверно.

Таким образом, нам остается признать, что среди всех рациональных чисел нет такого, квадрат которого был бы равен 2. Поэтому уравнение (m/n)² = 2 во множестве рациональных чисел неразрешимо. Поскольку среди рациональных чисел нет числа √2, то данное число должно принадлежать множеству каких-то других, еще не изученных нами чисел: √2 = 1,41421…» [1].

 

 «Теорема II: диагональ любого квадрата несоизмерима с его стороной.

Доказательство будем проводить методом от противного. Предположим, что диагональ AC квадрата ABCD соизмерима с его стороной AB.

Тогда существует общая мера этих отрезков, то есть отрезок, который в AB укладывается ровно n раз, а в AC ровно m раз. Если принять этот отрезок за единицу измерения длинны, то тогда длинна AB выразится числом n, а длинна AC выразится числом m. На диагонали AC построим новый квадрат ACEF, очевидно, что площадь этого квадрата будет вдвое больше площади квадрата ABCD:

(S)ACEF=2 · (S)ABCD,

но (S)ABCD = n², а (S)ACEF = m², поэтому m² = 2n², откуда следует, что (m/n)² = 2. Но данное равенство противоречит Теореме I: не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Следовательно, наше исходное предположение неверно, и нам остается признать, что диагональ любого квадрата несоизмерима с его стороной» [2].

На первый взгляд оба эти доказательства безупречны, но тогда возникает вопрос: почему в Теореме II предполагается, что отрезок, которым соизмеряются величины, должен «в AB укладывается ровно n раз, а в AC ровно m раз»? Что значит это «ровно»? Поскольку пифагорейцы не знали десятичных дробей, под словом «ровно» они понимали целые числа. Они думали, что если диагональ AC разделить на число m, должно получиться то же самое целое число, которое получится при делении AB на n. Но сегодня нам известно, что если разделить дробь √2 на произвольное целое число m, получится дробь, а дробь не является ни четным, ни нечетным числом, поэтому вывод о «несоизмеримости» из такого доказательства еще не следует.

Допустим, нам надо установить, соизмерим ли с единицей другой отрезок, который равен непрерывной десятичной дроби 1,222…. Такой дроби пифагорейцы тоже не знали, но сегодня мы можем легко доказать, что число 1,222… — рациональное, так как правила перевода десятичных дробей позволяют его записать в виде обыкновенной дроби m/n = 11/9. Итак, попытаемся размышлять об этом числе как в указанных выше теоремах. Возьмем единичный отрезок и разделим его на 9 частей, а отрезок, равный 1,222…, разделим на 11 частей. Если все верно, мы получим тождество, когда числитель равен знаменателю. Но будет ли это тождество выражаться целыми числами? 

(1,222…÷11)/(1÷9)= 0,111…/0,111… = (0,111…÷9)/1 =0,999…/1

 Как видим, вместо целых чисел мы получили выражения, в числителе которых стоят непрерывные дроби 0,111… либо 0,999… Мы делили отрезки на целые числа, а получили дробные значения. Не зная, как перевести десятичную дробь 0,999… в обыкновенную, мы не получим искомого арифметического тождества ни на каком конечном шаге приближения! Другими словами, в случае непрерывных десятичных дробей под словом «ровно» подразумевается совершение дополнительных действий 0,111…=1/9 или 0,999…=9/9. Но необходимость совершения таких действий в Теореме I никак не учитывается, это необходимое условие вообще не предусмотрено в доказательстве!

Другими словами, если пользоваться схемой Теоремы I, исключив правила перевода десятичных дробей, число 1,222… с формальной точки зрения тоже окажется «несоизмеримым» с единицей на любом конечном шаге последовательности, то есть «иррациональным», что, конечно же, не соответствует действительности. Из этого наблюдения следует, что нельзя доказывать иррациональность того или иного значения, опираясь лишь на одну операцию деления отрезков на целые части.

Перечитывая знакомые со школьной скамьи теоремы, трудно поверить, что в них может содержаться логическая ошибка. Кажется, что это просто невозможно! Иначе кто-нибудь из великих математиков обязательно бы на нее наткнулся. Но все-таки, а вдруг мы и вправду имеем дело с фатальной ошибкой, и несводимый к целому числу корень √2 можно представить в виде отношения m/n, где m и n — целые числа, n не равно 0? Как ни странно, есть все основания утверждать, что представить √2 периодической десятичной дробью все-таки можно.

 

CONTRA FACTVM NON EST ARGVMENTVM

В 1911 году голландский математик Лейтзен Брауэр доказал, что не существует топологического отображения, которое связывало бы два евклидовых пространства Е^a и Е^b при a не равном b. Другими словами, когда мы пытаемся находить отношение стороны и диагонали квадрата (то есть двухмерного объекта) при помощи отрезков (одномерных объектов), то ставим перед собой заведомо невыполнимую задачу. Между тем, решение для задачи о нахождении количественного соотношения стороны и диагонали квадрата существует. Для этого нужно разбить квадрат на элементы одинаковой размерности. Тогда сторона квадрата выразится тем же числом элементов, что его диагональ: (э) AB = (э) AC = 4.

Действительно, если бы она состояла из другого числа элементов, то при последовательном отображении AB на CD мы бы обнаружили, что стороны квадрата ABCD состоят из разного числа элементов, что противоречило бы определению квадрата, у которого все стороны должны быть равными.

Не сложно заметить, что в такого рода элементарной топологии отнюдь не очевидно, что площадь ACEF равна двум площадям ABCD. Для того чтобы получить отношение один к двум, известное нам из Евклидовой геометрии, необходимо достроить ACEF до фигуры A(CC’)E’(FF’), для краткости обозначим ее как квадрат AC’E’F’. Скажем сразу, что фигуры ACEF и AC’E’F’ не будут являться для нас привычными квадратами, так как через них мы сталкиваемся с числами, которые выражаются непрерывными десятичными дробями. Поэтому условимся называть квадрат ABCD ортогональным квадратом, а фигуры ACEF и AC’E’F’ — соответственно диагональным и мнимым диагональным квадратом.

Исходя из этих представлений, для площадей диагонального квадрата ACEF и ортогонального квадрата ABCD будет справедлива формула:

            (Sэ) ACEF = 2 · (Sэ) ABCD – (2 n – 1),                   (1)

где n — число элементов стороны ортогонального квадрата ABCD.

В самом деле, для квадрата ACEF, построенного по диагонали квадрата ABCD со стороной (э) AB = 4, справедливо равенство:

(Sэ) ACEF = 2 · 4² – (2 · 4 – 1) = 25.

Обратим внимание, что площадь полученного нами диагонального квадрата (Sэ) ACEF = 25 совпадает с площадью некоторого ортогонального квадрата х² = 5² = 25. Они абсолютно равны по числу элементов! 

Раз так извлечение квадратного корня из двух сводится к решению аналогичной задачи. То есть к отысканию такого диагонального квадрата ACEF, который бы оказался равен некоторому ортогональному квадрату х².

Принципиальным отличием здесь будет выступать только то условие, что необходимый нам диагональный квадрат ACEF должен строиться по диагонали конечного десятичного квадрата ABCD: 10², 100², 1000²… (и так далее, пока не найдется нужное значение). Используя формулу (1), перейдем к рассмотрению указанных десятичных квадратов и соответствующих им диагональных квадратов:

2 · 10² – (2 · 10 – 1) = 181;

2 · 100² – (2 · 100 – 1) = 19801;

2 · 1000² – (2 · 1000 – 1) = 1998001 и т.д.

Извлекая квадратные корни из полученных чисел 181, 19801, 1998001, мы, действительно, будем приближаться к десятичному значению числа √2 = 1,414213562…

√181 = 13,453624…;

√19801 = 140,716026…;

√1998001 = 1413,506632…

Сравнивая эти приближения с десятичным значением √2, целая часть которого увеличена на соответствующую им разрядность, обнаружим на каждом шаге приближения десятичный остаток:

14,142135… – 13,453624… = 0,688511…;

141,421356… – 140,716026… = 0,705330…;

1414,213562… – 1413,506632… = 0,707242…

Как видим, каждый шаг приближения дает нам в остатке значение, все более и более точно повторяющее десятичную дробь  √2/2 = 0,707106781…. Это означает, что если бы мы нашли число х², которое требуется для построения диагонального квадрата с заданными параметрами, то десятичная дробь √2 = 1,414213562… оказалась бы периодической:

√2 = 1,414_ 707_ 707_ (707_),

где нижним подчеркиванием _ обозначены недостающие члены последовательности.

Действительно, если вернуться к нашим приближениям и их десятичным остаткам, записав полученные значения в виде непрерывной дроби, а затем перенести запятую целых частей в положение после первой единицы, то при сравнении их с последовательностью 1,414213562… десятичный остаток второго порядка будет таким же приближением к √2/2 = 0,707106781…:

1,4142135623730950488016887242097… –

1,3453624_688511… =  0,0_688511…;

1,4142135623730950488016887242097… –

1,40716026_705330… = 0,00_705330…;

1,4142135623730950488016887242097… –

1,413506632_707242… = 0,000_707242…

То есть вслед за первым периодом 707_ в десятичной дроби 1,414_ 707_707_(707_) должен следовать второй, точно такой же, а за ним третий, четвертый и так далее. Как в любой другой периодической десятичной дроби.

 

HVMANVM EST ERRARE,

SED DIABOLICVM PERSEVERARE

Мышление современного человека перегружено сомнительными идиомами, которые постоянно воспроизводит информационная среда: «не пытайся объять необъятное», «история учит тому, что она ничему не учит», «исключение только подтверждает правило», «верю, ибо абсурдно» и так далее. Порой может показаться, что все знания, которыми мы располагаем, иллюзорны, что прогресс и развитие человечества не имеют смысла. Но это не так (иначе афоризм об истории, которая «ничему не учит», следовало бы признать неопровержимым). На примере, приведенном выше, мы убедились, что объять необъятную последовательность все-таки можно — но только частями. Теперь скажем несколько слов об «исключениях из правил».

Собственно, нас будет интересовать всего одно исключение. То, с которым мы сталкиваемся при рассмотрении числа √2. Если данная десятичная дробь непериодическая, то ее возвышение в квадрат ни на каком шаге приближения не даст нам периодическую дробь 1,999(9) = 2,000(0), то есть число, в дробной части которого стояли бы только девятки или только нули. Но раз так, то, вообще говоря, мы не имеем права настаивать на строгом равенстве √2² = 2. Как же тогда математикам удается доказывать, что √2² = 1,999(9) = 2,000(0)?

Оказывается, тождество √2² = 2 достигается в математике с помощью одного специального исключения из правил, а точнее табу, о котором нет упоминаний в современных пособиях. Данное исключение из правил, о котором умалчивают нынешние учебники, состоит в том, что периодические десятичные дроби с периодом (9) были попросту исключены из класса рациональных чисел, то есть — из класса периодических десятичных дробей!

«Любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, период которой отличен от (9). Верно и обратное утверждение: любая бесконечная периодическая дробь с периодом, отличным от (9), является рациональным числом» [3].

Математики ввели эту хитрую оговорку для того, чтобы сгладить логические шероховатости теории иррациональных чисел. Однако правила перевода десятичных дробей в обыкновенные позволяют любую десятичную дробь с периодом (9) представить в виде отношения двух целых чисел m/n. Например, можно записать 1,999(9) = 18/9 = 2. Откуда следует, что десятичные дроби с периодом (9) по определению принадлежат к классу рациональных чисел, нравится это математикам или нет. 

Так, что же следует признать тезисом incredibile dictu (с лат. «невероятное высказывание») — предположение, что несводимые к целым числам квадратные корни являются периодическими десятичными дробями, или утверждение о том, что все десятичные дроби с периодом (9) не являются периодическими? Каждый вправе сам выбирать, какой подход более справедлив.

 

EST MODVS IN REBVS

Ограниченность знаний иногда приводит к тому, что мы наделяем известные нам объекты функциями, которые им не принадлежат (как сказал один преподаватель матмеха, «студент не понимает, что он не понимает»). Зная только то, как пользоваться деревянной палкой, мы ударяем ею по каменной стене и, окончательно доломав хорошую палку, делаем вывод о неприступности стены. Зная способ, как «идти в обход», мы огибаем горы, не подозревая, что на одной из них может находиться как раз именно то, что мы ищем. Так вот, можно с уверенностью сказать, что при попытке записать отношение целых чисел m/n для квадратного корня из 2 математики тоже наделили известный им объект √2² =1,999(9)=2 функцией точного равенства, которое на самом деле получается иначе.

В соответствии с правилами перевода десятичных дробей в обыкновенные бесконечную периодическую десятичную дробь 1,414_ 707_707_(707_) можно записать в виде отношения двух целых чисел:

m/n =(1414_707 ­— 1414_)/999_000_= 1,414_707_707_(707_)

Однако это не означает, что при возвышении в квадрат числителя и знаменателя этой дроби должно получиться обязательно только «целое» число 2. Если бы это было так, число 2 оказалось бы квадратным числом, что привело бы нас к очередному абсурду. В то же время, как уже было сказано, для непрерывных дробей всегда есть возможность дополнительного действия с переводом дробного значения в целое число. Вполне возможно, такое действие, наделяющее объект √2²=1,999(9)=2 функцией точного равенства, существует. К сожалению, за тысячи лет развития математики никто даже не пытался такое действие выполнить!

Но разве можно на основании этого игнорировать закономерности, указывающие на существование периода у десятичной дроби √2, если в брауэровой топологии удается доказать существование диагонального квадрата, равного ортогональному?

Как можно верить в категорические заявления математиков, если они до сих пор ссылаются на древнее пифагорейское «доказательство», которое ничего не доказывает? А ведь эта теорема, приписанная Пифагору, и ее сомнительное доказательство, полученное Гиппасом, лежит в основаниях математической науки, которые принято считать эталоном «истинности», не содержащим никаких внутренних противоречий!

Данная теорема играет важную роль в формировании представлений о пространстве и времени. Она оказывает определенное влияние на массовое сознание, на современные философские концепции, на становление мышления молодых ученых. Поэтому нежелание математиков приглядеться к «доказательству» Гиппаса и прислушаться к философской школе интуиционизма Лейтзена Брауэра весьма напоминает применение двойных стандартов, гипнотическое состояние или даже тайный сговор математиков.

 

IN RE…

Конечно, исследование иррациональности выходит за рамки собственно математической проблемы. Мы настолько привыкли к абсурду вокруг нас, что, порой, перестаем замечать, что причины творящегося вокруг беспорядка кроются внутри нас самих. Доля иррационального присуща всему, что в меру нашего частичного или полного непонимания остается для нас необъяснимым. Можно сказать, фундаментальная наука тоже несет определенную ответственность за культурную деградацию, наблюдаемую в обществе. Многие факты, выявленные, но не объясненные наукой, используются для утверждения позиций агностицизма, идущего рука об руку с насаждением лжегуманизма и распространением деструктивных представлений: «для каждого существует своя правда», «истина не доступна сознанию», «все имеет свою цену» и т.д.

Но слепая приверженность иррационализму, в какой бы форме он ни выражался, в конечном счете, неизбежно ведет человечество к вырождению. Поэтому не надо бояться знаний, приводящих иногда к абсурду, подрывающих нашу уверенность в своих силах. Наши возможности гораздо шире, чем мы в состоянии себе вообразить, и преобладание среди ученых взглядов о том, что человек, якобы, познал «уже почти все», не подтверждается на практике. Всему есть свое объяснение и, в том числе, даже иррациональному.

 

 

[1] Е.С. Кочетков, Е.С. Кочеткова. Алгебра и элементарные функции. М., «Просвещение», 1966, Ч.I. С. 88

[2] Там же, С. 90

[3] Там же, С. 85