Проза

 

 

 

Эпизод 15 (Продолжение)

 

Эпизод 15 (Начало)

 

Возвращение Орфея

 

Мифологема бесконечности как атрибут божественной истины, космогоническая константа, тайна вечной жизни с древнейших времен вдохновляла и вселяла религиозный трепет. В ведических преданиях запечатлен акт человеческого сознания, направленный на осмысление конечного и бесконечного, согласно Пуранам, вселенная возникает в результате борьбы между асурами и богами, проявлениями Дитьи и Адити («ограниченности» и «безграничности»). Вселенский змей Ананта («бесконечность»), на кольцах которого отдыхает защитник вселенной Вишну, являет собой в то же время воплощение индуистского бога Шивы, поглощающего материальную вселенную в ходе смены временных кальп.

Подобные синкретичные представления характерны для древних культур, причем во всем разнообразии мифов особое место занимает архетип змея, связанного с бесконечностью времени и состоянием изначального хаоса. Прародительница богов Тиамат в шумеро-аккадской мифологии, космический змей Апоп в культуре древнего Египта, образ дракона и змея в древнекитайской традиции, древнегреческий Пифон, хранитель священного оракула, пернатый змей толтеков Кецаль-коатль, змей Мидгарда в скандинавской мифологии, Древний Змий иудео-христианства, и это далеко не полный перечень.

По мере развития культур мифологическое сознание усложнялось, структурировалось, порождая иерархии, в которых возникало четкое деление на божественное и демоническое. Вместе с тем астрономические и вычислительные традиции древних цивилизаций способствовали постепенному переходу от мифологического восприятия к научному. В эпоху античности древнегреческими мыслителями был заложен фундамент ныне действующей научной парадигмы, однако парадоксы и архетипы бесконечности никуда не исчезли. Изменив свои прежние мифологические названия, они вошли в символические системы новой парадигмы.

Основателем философии материализма, с которой ассоциируется современная наука, принято считать Анаксимандра. Вопреки теологическим воззрениям своего учителя Фалеса Милетского, началом всего сущего он называл движение бесконечного (το απειρον), благодаря которому с течением времени происходит трансформация всех вещей, включая неисчислимые космосы. Действительно, в учении Анаксимандра божественное сознание уже не упоминалось в качестве необходимой первопричины движения, хотя за полторы тысячи лет до него в Древней Индии уже существовала школа чарваки, признававшая существование только материальных тел и предметов.    

Как бы ни пытались материалисты отрицать существование закономерностей духовного мира, сама парадигма материализма содержит в себе ярко выраженные мифологические корни. Дословно переведенное латинскими авторами как «materia» («ткань») греческое определение «υλη» (имеющее обиходное значение «лес», «дерево», «древесина»), относит нас к распространенной во всех культурах мифологеме Мирового Древа, пронизывающего вселенную. Об этом архетипе сознания не стоит забывать хотя бы потому, что образ Древнего Змия в иудео-христианстве напрямую связан с образом Древа, вокруг которого он обвился, искушая человека знаниями путем подмены понятий или, в биологическом смысле, мимикрией.

Несмотря на то, что парадоксы бесконечных процессов были известны задолго до расцвета эллинистической культуры, при знакомстве с этими парадоксами в науке принято ссылаться на философа Эпименида и софиста Зенона Элейского. Противоречия, обнаруженные учеником Парменида Зеноном, могут быть рассмотрены на примере апории «Ахиллес и черепаха» — быстроногий герой никогда не догонит черепаху, которая ползет на некотором расстоянии а впереди него. Пока Ахиллес, бегущий в k раз быстрее черепахи, преодолевает расстояние а, черепаха успеет проползти расстояние а/k, пока Ахиллес преодолевает расстояние а/k, черепаха успеет проползти еще один промежуток а/k²…

Выходит, Ахиллес никогда не догонит черепаху, так как расстояние, разделяющее их, можно делить до бесконечности. Более того, допустим, что Ахиллес догонит черепаху, то есть пройденный им путь будет равен пути черепахи  S_A = S_Ch. Запишем все промежутки, пройденные Ахиллесом и черепахой:

S_{A =} а + (a/k) + (a/k²)… ;  S_{Ch =} (a/k) + (a/k²)…

Как видим, если черепаха проползет два промежутка, Ахиллесу требуется пробежать три отрезка пути, то есть на один больше. Записав общее число промежутков, пройденных черепахой, через А, мы получим парадоксальное равенство 1 + А = А, означающее, что определенная часть бесконечного множества может быть эквивалентна всему множеству. По сути, с тем же постулатом мы сталкиваемся каждый раз, когда используем десятичные дроби и записываем, например, что 0,99(9) = 1. Если бы в математике не существовало аксиомы эквивалентности, основанной на правилах перевода десятичных дробей в обыкновенные (0,99(9) = 9/9 = 1), то апории Зенона Элейского до сих пор можно было бы считать неразрешимыми загадками.

Математические доводы Зенона подчеркивали глубокий диалектический характер представления о бесконечности, позволяющей говорить о равенстве между частью и целым, поэтому Аристотель называл этого философа основателем учения о диалектике. Что касается самого Аристотеля, то он пытался объяснить возникающие в математике парадоксы нарушением логических правил. Основную причину возникновения противоречий он видел в умозрительных попытках построения бесконечно протяженных геометрических объектов, которые воспринимались бы как некие идеальные тела.

Чтобы исключить парадоксы бесконечности, Аристотель сформулировал тезис, ставший впоследствии классическим — «Infinitum actu non datur» (с лат. «Бесконечность актуально не задана»). Многие после Аристотеля считали на этом вопрос о бесконечности решенным. Однако Аристотель отнюдь не решил проблему, он лишь отодвинул ее решение на неопределенный срок, поскольку в своей «Физике» (Книга III, глава 7) он ввел аксиому расхождения арифметического числа и геометрической величины: «Вполне разумно также и то, что для числа имеется предел в направлении к наименьшему, а в направлении к большему оно всегда превосходит любое множество, для величин же наоборот: в направлении к меньшему оно превосходит все своей малостью, а в направлении к большему бесконечной величины не бывает. Причина та, что единица неделима».[1]

Для нас аксиома Аристотеля о расхождении числа и величины, равно как пифагорейская аксиома о неделимости единицы выглядят крайне подозрительно, потому что мы давно пользуемся дробными числами. Казалось бы, в наши дни таких аксиом быть уже не должно. Но именно с аксиомами в современной математике не все так благополучно, как пытаются сами себе доказать математики.

Тревожные симптомы неблагополучия в математике были обнаружены еще в XIX веке. В математическом трактате «Непрерывность и иррациональные числа» Рихард Дедекинд писал: «Принятое до сих пор введение иррациональных чисел связывается именно с понятием о протяженных величинах, которое само нигде не определено и задает такое число как результат измерения другой величиной такого же рода. Вместо этого я требую, чтобы (…) иррациональные числа были вполне определены через посредство рациональных. Но как это сделать – вот в чем вопрос».[2] Дедекинд предложил взять вместо соизмеримых и несоизмеримых отрезков два класса P и Q, таких что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго, при этом существует одна и только одна точка, производящая сечение прямой на два класса. Наиболее существенным в таком построении континуума было то, что точка сечения относилась к первому или ко второму классу произвольно, за счет чего в аксиоме Дедекинда и достигалась непрерывность.

Другого представления о непрерывности придерживался Георг Кантор. Если Дедекинд видел непрерывность числовой прямой в наделении общим свойством соизмеримых и несоизмеримых отрезков, то Кантор считал множество целых чисел «прототипом разрывности», а свойством непрерывности, по его мнению, должны обладать лишь множества, состоящие из бесконечного числа элементов. Для этого Кантор ввел свою собственную аксиому о стягивающихся в общую точку отрезках, благодаря которой для бесконечно убывающих величин удалось ввести новые трансфинитные числа. Как признавал сам математик, он пришел к таким трансфинитным ансамблям «почти против собственной воли и в противоречии с ценными традициями, логически вынужденный к этому ходом многолетних усилий и попыток».[3]

После этого нововведения Георга Кантора сочли первооткрывателем, он ввел в основания математики актуальную бесконечность вопреки традиций, восходящих к аксиоме измерения Евдокса-Архимеда и трудам Аристотеля. Но в действительности положение об актуальной бесконечности уже содержалась в античной арифметике в скрытом виде как положение о неделимости единицы. Георг Кантор по-своему интерпретировал это искусственное ограничение пифагорейской арифметики и получил свою арифметику трансфинитных чисел.

Он убедил Дедекинда поддержать такую концепцию непрерывности, и Дедекинд в ходе переписки с Кантором, согласился при условии, что в будущем Георг Кантор докажет с помощью трансфинитных чисел свою гипотезу континуума.[4] Согласно этой гипотезе, каждое бесконечное множество подмножеств, начиная с множества всех действительных чисел 2^À0, равно следующему по номеру актуально бесконечному множеству (то есть для всех действительных чисел 2^À0 — трансфинитному числу À₁). Данное условие ни Георг Кантор, ни его последователи так и не выполнили, но идея актуальной (завершенной или конечной) бесконечности при всех ее странностях и аксиоматических оговорках была положена в основание всей математической науки. Так почему же математики, привыкшие полагаться на строгие доказательства, так легковерно приняли концепцию актуальной бесконечности?

 

Есть три уровня понимания доказательства. На самом низшем уровне у вас появляется приятное ощущение,

что вы поняли ход рассуждений. Средний уровень — когда вы можете воспроизвести доказательство.

На верхнем или высшем — вы обретаете способность его опровергнуть.

Карл Поппер

 

Дело в том, что Георг Кантор получил одно доказательство, свидетельствующее в пользу несчетности множества всех действительных чисел, из которого можно заключить, что свободно становящейся потенциальной бесконечности (το απειρον) недостаточно для формирования всех действительных чисел, и чтобы восполнить «недостаток» он собственно и ввел свои трансфинитные числа.

Теорема Кантора:

{Тезис A:} Множество всех действительных чисел Х — несчетно.

Доказательство. Допустим, что множество Х — счетно {Тезис не-A:}. В таком случае существует пересчет всех действительных чисел (д.ч.) из Х, то есть некоторое взаимно-однозначное соответствие между всеми д.ч. из Х и всеми натуральными числами из N = {1,2,3,4...}. Пусть, например, есть искомый произвольный пересчет всех д.ч. из Х:

 

{Тезис B:}          x₁, x₂, x₃, … ,                (1)

 

Тогда, следуя диагональному методу, пересчет (1) может быть поставлен во взаимно-однозначное соответствие с так называемым диагональным действительным числом (д.д.ч.), отличающимся по способу построения от первого, то есть пусть существует некий другой пересчет всех д.ч.:

 

{Тезис не-B:}        y₁ = 0, y₁₁ y₁₂ y₁₃ …         (2)

 

Получаем противоречие, так как оказалось, что счетное множество действительных чисел из Х не содержит всех действительных чисел, а значит, множество всех действительных чисел несчетно… Однако, исследуя доказательство Кантора, ведущий научный сотрудник вычислительного центра РАН Александр Зенкин обнаружил, что на самом деле в нем возникает логическая структура, практически идентичная структуре парадокса «Лжец» Эпименида.

По преданию считалось, что на острове Крит находится усыпальница бога Зевса — предмет особой гордости критян, но бессмертный бог не мог умереть, следовательно, у него не могло быть усыпальницы. Поэтому Эпименид, сам будучи критянином, назвал всех критян лжецами. Таким образом возник остроумный парадокс: «Один критянин сказал, что все критяне лжецы. Лжец ли он?». Если он лжец, то он говорит неправду, следовательно, на острове Крит найдется хотя бы один не-лжец, тогда он сам может оказаться правдивым критянином. Но тогда и утверждение, что все критяне лжецы, должно быть правдивым, а это значит, что говорящий тоже лжец, ведь он — критянин. А если он лжец, то… смотри начало. Из такого бесконечного утверждения вида А → не-А → А → не-А → А →… невозможно ничего доказать.

Возражение Александра Зенкина состоит в следующем:

По начальным условиям пересчет д.ч. из Х потенциально бесконечен (его нельзя остановить ни на каком конечном шаге), и он произволен. По этим условиям ничто не мешает добавить к исходному бесконечному пересчету (1) пересчет диагонального действительного числа (2):

 

     y₁ ,  x₁ , x₂ ,  x₃ ,  . . .  x_n                    (1.1)

 

Этот новый бесконечный пересчет (1.1) будет содержать все необходимые для утверждения счетности действительные числа {Тезис B:}. Очевидно, к пересчету (1.1) можно вновь применить диагональный метод и выдвинуть предположение, что в (1.1) опять не содержится всех д.ч. какого-то другого диагонального числа y₂ {Тезис не-B:}. Но тогда, опираясь на произвольность эталона Х = [0,1] и бесконечность содержащегося в нем множества Х, не трудно сделать очередной пересчет и показать, что Х может содержать все д.ч. любого диагонального действительного числа.

 

   y₂,  y₁,  x₁, x₂,  x₃,  . . .  x_n ;

   y₃,  y₂,  y₁, x₁, x₂,  x₃,  . . .  x_n ;

   y₄,  y₃,  y₂,  y₁,  x₁, x₂,  x₃,  . . .  x_n .

 

То есть логическая структура принимает вид бесконечного парадокса не-A → B → не-B → B → не-B → B → … Раз так, никакого опровержения, которое бы позволило именно доказать несчетность множества всех действительных чисел, в знаменитом «доказательстве» Кантора не возникает. Зато в его доказательстве возникает дедуктивная ошибка прыжка к желаемому заключению (англ. «jump to a wishful conclusion»), когда одно из условий (произвольность пересчета) вдруг забывается и отбрасывается по ходу доказательства.[5]

Как справедливо отмечал Дедекинд в своих письмах Кантору, именно путем произвольности пересчета элементов множества и достигается математическая непрерывность.[6] Но Кантор ради удобства исключил в своих доказательствах саму возможность выражения любых натуральных чисел непрерывными десятичными дробями. Стоит ли после этого удивляться, что, несмотря на все усилия, Георг Кантор не сумел доказать гипотезу континуума? Пытливый ум ученого не выдержал давления, связанного с парадоксальными абстракциями, и остаток дней математик провел в лечебнице для душевнобольных.[7] Тем не менее, он продолжал верить в истинность своей теории и горячо убеждать в этом других математиков.

Причина упорства Георга Кантора очевидна — в своем трактате «Дополнения к учению о трансфинитном» он сам ее называет: «Трансфинитные числа в известном смысле суть сами новые иррациональности; и действительно, по-моему, лучший метод определить конечные иррациональные числа совершенно подобен, я готов даже сказать, в принципе тот же самый, что и мой описанный выше метод введения трансфинитных чисел. Можно безусловно сказать: трансфинитные числа стоят или падают вместе с конечными иррациональными числами. По своему внутреннему существу они подобны друг другу, ибо первые, как и последние, суть определенно отграниченные образования или модификации (αφωρισμενα) актуально-бесконечного».[8]

Многочисленные нападки, которые обрушились на Георга Кантора, никак не затрагивали теорию иррациональных чисел, которой пользовались все, даже самые яростные противники Кантора, так что в итоге ожесточенных перепалок математики все-таки были вынуждены признать существование трансфинитных чисел. А ведь каких только взаимных обвинений и ссор не было среди математиков!

Пожалуй, самым непримиримым противником теории множеств был учитель Георга Кантора профессор Берлинского университета Леопольд Кронекер, входивший с число самых влиятельных математиков того времени. Его неприятие теории множеств доходило до того, что он публично называл Кантора «шарлатаном» и «растлителем молодых умов». Критика теории бесконечных множеств логически привела Леопольда Кронекера к тому, что он усомнился в теории иррациональных чисел, заявив: «Господь Бог создал натуральные числа, все остальные — творения рук человеческих». Переживания ученого за будущность математики отразились и в его дискуссии с Вейерштрассом, к которому, между прочим, были обращены следующие слова Кронекера: «Скоро арифметика покажет настоящие точные пути анализу и убедит в неверности всех тех умозаключений, с которыми работает современный, так называемый, анализ».[9] Однако дальше слов дело тогда так и не пошло.

Поначалу в дискуссию включились даже физики, которые остро ощущали наметившийся методологический раскол теории множеств и прикладной математики. Так, лауреат Нобелевской премии гарвардский физик Бриджмен продолжал настаивать, что «операции, используемые при построении непрерывной десятичной дроби, не могут быть завершены, поэтому незаконно постулировать выполнение других операций, которые предполагается осуществлять далее, после невозможности завершения построения непрерывной десятичной дроби».[10] Подобные замечания по поводу нарушения индуктивной последовательности и путаницы в понятиях при введении актуальной бесконечности в язык математики приводил логик Виттгенштейн, но сторонников прежнего классического тезиса «Infinitum actu non datur» уже никто не желал слушать.

В начале ХХ века математики уверовали в свое интеллектуальное могущество, в непротиворечивость математических аксиом и в скорое доказательство континуум-гипотезы. Именно тогда Дэвид Гильберт изрек свое знаменитое: «Никто не изгонит нас из трансфинитного рая, открытого Георгом Кантором». Возникавшие парадоксы математиков ничуть не смущали. Вместо того, чтобы разобраться в нагромождении уже существующих аксиом, они предпочли заняться «латанием дыр» в теории множеств, изобретая новые и новые аксиомы для устранения обнаруженных парадоксов.

 

Бесконечность не существует актуально.

Канторианцы забыли об этом и впали в противоречие.

Анри Пуанкаре

 

Выдающийся математик Дэвид Гильберт, конечно же, осознавал опасность парадоксов и противоречий в основаниях математики. В 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже он сформулировал список проблем, поставив на второе место (после доказательства континуум-гипотезы) следующую фундаментальную задачу — доказать непротиворечивость системы аксиом арифметики либо найти и устранить такое противоречие (2-я проблема Гильберта). Бурное развитие теории множеств, аксиоматического подхода и логицизма весьма его обнадеживали, казалось, решение проблемы континуума и доказательство непротиворечивости оснований уже не за горами.

Однако вера математиков серьезно пошатнулась, когда в 1931 году Курт Гедель в статье «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем» опубликовал свою теорему о неполноте, согласно которой формального языка математики недостаточно для доказательства непротиворечивости любой теории, включающей в себя арифметику натуральных чисел. Из результатов Курта Геделя следовало, что можно доказать только наличие противоречия, причем в рамках другого, более полного набора аксиом. Но искать противоречия в собственных теориях математикам было несподручно, да и невыгодно, поэтому о 2-й проблеме Гильберта в настоящее время почти никто не вспоминает.

Что же с континуум-гипотезой? На протяжении многих лет лучшие математические умы пытались привести то самое доказательство непрерывности, о котором отчаянно мечтал Кантор. Лишь в 1963 году Поль Коэн доказал независимость континуум-гипотезы от аксиом теории множеств (система аксиом Цермело-Френкеля), откуда следовало, что, вообще говоря, поиск обетованной непрерывности не обязательно должен быть связан с теорией множеств и трансфинитными числами. Немного утрируя, можно сказать, что главным результатом развития теоретико-множественного направления в ХХ веке стало отсутствие результатов, потому что важнейшие математические проблемы, решения которых ожидали от последователей Георга Кантора, так и остались нерешенными.

Казалось бы, чем не повод для переосмысления путей развития математики? Но вместо поиска глубинных причин, по которым теория множеств и школа формализма Николя Бурбаки не оправдали возложенных на них надежд, теоретико-множественный подход стали внедрять в университетское и школьное образование, а новые результаты (к примеру, те же замечания Александра Зенкина) замалчивать и старательно игнорировать.[11] Из смелой новаторской школы, занятой преобразованием оснований математики, теория множеств превратилась в реакционную монополию, устраняющую любых неугодных конкурентов. Одного из крупнейших математиков XX века академика Льва Семеновича Понтрягина сняли с поста представителя в Международном математическом союзе лишь за то, что он стал открыто заявлять о дискриминации на высшем уровне математических направлений, отвергающих теорию множеств, и ратовать за возврат в школьное образование старой программы.  В точности так из редколлегии влиятельного математического журнала «Mathematische Annalen» в свое время был изгнан голландский математик Лейтзен Брауэр, назвавший теорию Георга Кантора «патологическим казусом в истории математики, от которого грядущие поколения, вероятно, придут в ужас».[12]

Плачевный итог развития математики был подведен в монографии «Математика. Утрата определенности» профессора Курантовского института, известного математика Морриса Клайна: «Нынешнее состояние математики — не более чем жалкая пародия на математику прошлого с ее глубоко укоренившейся и широко известной репутацией безупречного идеала истинности и логического совершенства».[13] Век разума, по мнению Клайна, для математики давно закончился, и наступил Век безумия, поэтому в конце книги он полностью соглашается с Альфредом Нортом Уайтхэдом, назвавшим занятие математикой безумием, ниспосланным богами, — «Безумие? Вполне возможно — но, несомненно, ниспосланное богами».[14] Вот только был ли Век разума, а может, его и не было вовсе? Для ответа на этот вопрос, нужно вернуться к античным истокам.

 

Кто ты, Пифагор? — Аполлон Гиперборейский.

Пифагорейская акусма

    

В сочинении «О пифагорейской жизни» Ямвлих рассказывает об одном математике-пифагорейце, который разгласил непосвященным профанам тайну несоизмеримости стороны и диагонали квадрата, за что был изгнан из пифагорейского братства. В знак того, что бывшие товарищи стали считать его умершим, они соорудили ему гробницу. По другой версии Гиппас из Метапонта, обнародовавший теорему несоизмеримости и ставший в последствии одним из подстрекателей Кротонского погрома, был выброшен уцелевшими последователями Пифагора за борт, поскольку пифагорейцы верили в то, что «все иррациональное (αλογον) и лишенное вида (ανειδεον) любит скрываться; и тому, кто захочет им обладать, суждено будет погрузиться в "пучину возникновения" и быть омываемым ее волнами, не знающими покоя».[15]

Именно история предательства Гиппаса и разделения пифагорейцев на два враждующих лагеря, вероятнее всего, легла в основу позднего орфического предания о Дионисе-Вакхе, которого захватили и сковали морские пираты (сторонники Гиппаса). Однако оковы, в которые был заключен Дионис, сами с него упали, весь корабль (символ математики) тут же оплели виноградные лозы и плющ, а пираты, потрясенные увиденным, стали сходить с ума и прыгать в бушующее море, превращаясь в дельфинов.

В наши дни большинство математиков, забыв о подлинной подоплеке распада пифагорейского братства, восторгается доказательством Гиппаса и называет его чуть ли не первым настоящим ученым, от которого берет начало современная математика, хотя в действительности Гиппас переиначил учение Пифагора, наиболее важные положения которого сохранялись в тайне при помощи мифологических символов. Верные своей клятве, пифагорейцы так и не раскрыли эту тайну, но мы можем восстановить основные метафорические значения, опираясь на имя самого Пифагора (с греч. «Тот, о ком изрекла Пифия»), считавшееся у пифагорейцев священным.

Змей Пифон, охранявший сакральную область Гео (геометрия), которого убил Аполлон, основавший Дельфийский оракул, и есть мифопоэтический образ бесконечного процесса соизмерения, который на практике заменяется конечными рациональными приближениями (аполлонийское начало). Пифагор и его последователи не пользовались современными десятичными дробями, такими, как число √2=1,414..., но они умели находить приближения для соизмерения стороны и диагонали квадрата методом боковых и диагональных чисел 3/2 → 7/5 → 17/12…

Никакой большой тайны в самом методе боковых и диагональных чисел не было, архитекторы пользовались этим методом со времен Древнего Египта и Вавилона, пифагорейцы знали, что эти соотношения ни на каком шаге не дают равенства, но они применяли их в бытовой жизни, при сооружении храмов, при настройке музыкальных инструментов и так далее. Пифагорейская тайна состояла в другом — она была скрыта в символах орфических мистерий, согласно которым титаны расчленили младенца-Диониса на семь частей и поглотили его тело. Разгневанный Зевс испепелил титанов. Когда их пепел рассеялся, из него возникли люди, в которых, таким образом, божественная природа Диониса перемешалась с хаотичной природой титанов. Аполлон Гиперборейский (рациональные приближения) разыскивал и собирал в возникшей титанической множественности (иррациональное начало) частицы расчлененного Диониса. Иначе говоря, пифагорейцы верили, что рациональная душа изначального Вакха (дионисийское начало) однажды вновь будет воссоздана.

Математик Гиппас привел доказательство в пользу того, что диагональ и сторона квадрата в принципе несоизмеримы, стало быть, Аполлон Гиперборейский занимался бессмысленными поисками. Разумеется, пифагорейцы старой школы, знавшие метафорический языка посвященных, не признали доказательство Гиппаса, и обиженный математик, не сумев убедить бывших товарищей, примкнул к Кротонским заговорщикам. Более того, судя по всему, он выступил главным инициатором погрома, так как первым свидетельствовал против пифагорейцев на злополучном совете тысячи.[16] Вот из такого некрасивого предательства и берет свое начало математика, вопреки иллюзиям о ее логическом совершенстве в эпоху античности. И выход из перманентного кризиса оснований математики до сих пор не найден — математики просто не знают, где и как его искать, но выход существует.

Выдающийся отечественный философ и историк математики Софья Яновская на вопрос, что значит решить задачу, дала поразительно простой и точный ответ: «Решить задачу — значит свести ее к уже решенным».[17] Гиппас не мог решить задачу о соизмерении стороны и диагонали квадрата, так как для решения требовалось, как минимум, знать что такое непрерывные десятичные дроби. В десятичных дробях целое число 2 можно записать при помощи непрерывной дроби 2 = 1,999…∞. Поскольку дробь не является ни четным ни нечетным числом, метод доказательства Гиппаса с помощью четных и нечетных чисел ничего не дает.

Напомним, что в своем доказательстве Гиппас дробил диагональ квадрата AC на m число отрезков, а сторону AB на n отрезков. По теореме Пифагора AC² = 2, поэтому число m у Гиппаса получалось четным. Далее, раз число m — четное, вместо числа m в пропорцию m² = 2n² он подставлял четное значение m = 2k и получал, что 4k² = 2n², откуда n тоже получалось четным. Но реально в математике никто не пользуется фиктивными числами Гиппаса m и n, потому что диагональ AC выражается дробью √2=1,414... и вместо целочисленной пропорции Гиппаса m² = 2n² в арифметике применяется вполне адекватное тождество √2² = 2 ·  1², причем в античной математике такая возможность даже не рассматривалась.

Воспользовавшись разбиением квадрата на бесконечное множество клеток (или разбиением Брауэра, вытекающим из его теоремы об инвариантности числа измерений n-мерного многообразия), мы можем записать для десятичной дроби √2=1,414... следующее периодическое значение:  

√2 = 1,414_ 707_ 707_ (707_).

Тогда, применив правила перевода десятичных дробей в обыкновенные, мы получим для этой дроби отношение целых чисел m/n, которое не могли получить математики-пифагорейцы:

1,414_ 707_ 707_ (707_) = (1414_707_ – 1414_) / 999_000_

Из такого построения вытекает, что число m — нечетное, а число n — четное, так что полученная дробь несократима. Теперь проверим значение 1414_707_ – 1414_, где нижним подчеркиванием обозначены пропущенные члены конечной последовательности, и установим, к какому числу оно стремится на каждом шаге приближения:

 

147–14=133 → 133²=17689;

14170–141=14029 → 14029²=196812841;

1414707–1414=1413293 → 1413293²=1997397103849;

141427071–14142=141412929 →  141412929²=19997616488359041;

14142170710–141421=14142029289 → 14142029289²=199996992410933845521  и т.д.

 

Как видим, порядок и разрядность полученных значений указывают число вида 199_700000_1000_, которое получится, если отношение чисел m/n возвысить в квадрат:

 

 (m/n)² = (1414_707_ – 1414_)² / 999_000_² = 199_700000_1000_ / 99_800_1000000 = 2,00_1.

 

Мы нашли десятичное значение 2,00_1, выразимое отношением целых чисел m²/n², и это значение оказалось не точным тождеством m²/n² = 2, как утверждается в доказательстве Гиппаса. Он интерпретировал задачу на отыскание отношения m²/n² таким образом, будто число 2 является «квадратным» числом, как числа 1, 4, 9, 16, 25…, поэтому он и получил несуществующие фиктивные числа. На самом деле отношение m²/n² дает число 2,00_1 — десятичную дробь, которая лишь приближается к целочисленному значению 2. Однако этого вполне достаточно, чтобы применить к нему правила перевода десятичных дробей в обыкновенные и получить необходимое строгое тождество. Единственное, что для этого требуется, так это дополнить уже существующую в арифметике аксиому эквивалентности непрерывной дроби и целого бесконечными приближениями с избытком.

1,999…∞ = 2 = 2,00…∞1.

Если в современной арифметике применяется равенство вида 1,9999…∞ = 2, то симметричное ему на числовой прямой равенство 2,0000…∞1 = 2 имеет такое же право на существование. Почему математики предпочитают этого не замечать, это уже другой вопрос. Между тем уникальность правил перевода десятичных дробей в обыкновенные как раз в том и состоит, что для получения тождества достаточно рассмотреть всего одно конечное значение, например:

 

1,999… = (19 – 1)/9 = 2, точно так же, как 2,000…1 = (21 – (2+1)) / 9 = 2.

 

Мы нашли необходимое для квадратного корня из двух значение 2,00_1, такое, что для него выполняется правило (200_1 – (2+1)) / 999_ = 2. При желании для кубического корня из двух аналогичным способом можно получить значение (1259_432_–1259_)³ / 999_000³ = 2,000_1, разрядность которого отличается от разрядности в квадратичной пропорции. Но к нему будет применимо то же правило перевода десятичных дробей, так как 2,0000…∞1 = 2. Другими словами, введение бесконечных десятичных приближений с избытком решает проблему эффективного упорядочения на числовой прямой корней любых несводимых к целым числам радикалов.

Школа интуиционизма позволяет производить построение континуума через интервалы числовой прямой, а не через точки, в результате чего можно получить упорядоченные десятичные значения для «классических иррациональностей», структуру которых математики привыкли представлять хаотичным набором цифр. Как справедливо заметил в своем трактате «О философии математики» Германн Вейль, концепция Брауэра, предложившего вместо нульмерных точек рассматривать интервалы континуума, «соединяет в себе высочайшую интуитивную ясность со свободой. На тех, у кого среди формализма еще сохранилось чувство интуитивной реальности, эта концепция должна воздействовать как избавление от некоего тяжелого кошмара».[18]

В континууме, состоящем из интервалов, инвариантной константой является только единица, сохраняющая себя в пространстве любой размерности: 1ⁿ = 1, в том числе в нульмерном пространстве точки 1⁰ = 1. Тогда как в теории множеств инвариантной константой было принято нулевое значение (точка в аксиоме непрерывности Георга Кантора). Поэтому для последователей математической школы формализма ноль является «натуральным числом», для них эта условная величина существует актуально в виде пустого множества. В таком континууме кажется, что если повернуть числовую прямую вспять, то пустое множество окажется подмножеством любого множества: n · 0 = 0. Более того, пустое множество может показаться «вездесущим» даже в пространствах любой размерности 0¹=0, 0²=0, 0³=0…

Однако, несмотря ни на что, нулевое значение не обладает всеми свойствами инвариантного постоянства, и если рассмотреть nullo вне действительных значений, обладающих размерностью, нулевое значение исчезнет, и вместо нуля как бы «из ничего» появится единица: 0⁰=1. Это означает, что построить абсолютно пустое множество невозможно. Значения континуума заданы сколь угодно малыми интервалами, с их помощью происходит построение и самой нульмерной точки:

 

–0,00... ∞1 = 0 = +0,00... ∞1

 

Поразительное сходство свойств нулевого значения и единицы возникает оттого, что 0 являет собой иллюзорное отражение единицы и бесконечное от нее удаление. Но стоит допустить реальное существование абсолютного «ничто», как неизбежно возникает противоречие, не позволяющее уловить подлинную онтологическую суть бесконечности, не уронив при этом законов логики. Помимо этих чисто математических аспектов проблема бесконечности открывает тонкую связь нашего мышления и мифологических архетипов, лежащих в глубинных структурах сознания.

В древнеиндийской философии высшей реальностью, благодаря которой появляются конечные материальные вещи, считалась неосязаемая органами чувств природа бесконечного Атмана-Пуруши. Поэтому восприятие любых актуально заданных объектов считалось рассудочной иллюзией (майя), которую, впрочем, можно разрушить подлинным знанием (видьей). Однако пока этого не произошло, невежеством любого человека, ограниченного восприятием конечных вещей, пользуются различные демонические сущности, приводящие к ошибочным умозаключениям и стремящиеся присвоить себе амритатву (атрибут бесконечного существования).

Именно в Древней Индии впервые появилось определение нуля, позаимствованное позже наукой, причем изначальный смысл этого абстрактного понятия был переиначен в соответствии с установками атеистического материализма, для которого реальностью являются только конечные измеряемые объекты. Чтобы понять, какой смысл в понятие нулевого значения вкладывали сами индусы, следует обратиться к мифологическому образу Ананта-Шеши (санскр. «Бесконечно-Предельный»), в котором реализована полная экспансия разрушительной силы Шивы, уничтожающая материальную вселенную (перемножение любого множества на 0). Тем не менее, змей Ананта-Шеши существует лишь благодаря медитации защитника вселенной Вишну-Нараяны. Могущество Шеши кажется безграничным, в течение кальп времени он способен уничтожить все сущее, и когда в его испепеляющей пасти рискуют погибнуть даже боги (наступление эпохи безбожия), появляется аватара Верховной Личности, прекращающая разрушение вселенной (0⁰ = 1).

Высшей математикой в древности считалась именно такая мифопоэтическая философия математики, развивающая в человеке и образное мышление, и аналитические способности. Без образного мышления, как мы видим по состоянию нынешней безнравственной науко-кратической цивилизации, безобразной становится не только математика, но само общество и порождаемая им «культура». Бесконечность есть такой вопрос, который совместим с любой системой вопросов, она вмещает в себя каждую частицу, каждое слово, каждую вещь и не-вещь. Она вмещает в себя каждое мгновение прошлого и будущего в пространствах, размерность и масштабы которых превосходят наше воображение. Все возможное и невозможное исчисляется бесконечностью, посредством которой между самыми различными телами и существами окружающего мира, понятиями и образами, возникающими в нашем сознании, существует непрерывная взаимосвязь.