Проза

 

О решении второй математической проблемы Дэвида Гильберта

 

 

 

Когда задумываешься, какое сродство и что общего может быть между сугубо математической, казалось бы, проблемой отыскания противоречий в аксиомах арифметики и религиозно-философской проблемой отыскания истины, то первым делом вспоминаются слова Павла Александровича Флоренского, который в трактате «Столп и утверждение истины» предпринял попытку осуществить «сверх-рассудочный синтез» истины. По мнению философа, такой синтез должен был непременно выражаться через идею числа иррационального, находящегося в области вне-разумной бытийности:

«Что значит, например, √2? — Это значит то и только то, что в ходе решения мы наткнулись на стену. Мы искали некоторое число, а оказалось, что нет числа, которое бы удовлетворило условиям задачи: √2 есть символ арифметической невозможности (...) Этот факт впервые открыт еще Пифагором; как известно, сам геометр ужаснулся глубине открытого им факта и последствий, которые из него проистекают. Ведь одним этим фактом раз на всегда нанесены непоправимые бреши всякому рационализму». [1, C.506]

Тем самым создается перемычка, отделяющая человеческий разум от божественного сверх-разума, нашу конечную логику от бесконечного Логоса. Но существование такой непреодолимой между ними стены, не имеющей ни единой двери, вместе с тем означает необратимость падения человека в тварный мир, принципиальную невозможность достижения им изначального бого-сообразного подобия. Именно в решении проблемы отделенности горнего и дольнего мыслитель видел основной смысл своей антропотеодицеи:

«В поисках достоверности мы натолкнулись на такое сочетание терминов, которое для рассудка не имеет и не может иметь смысла. "Троица во Единице и Единица в Троице" для рассудка ничего не обозначает, если только брать это выражение с его истинным, не противоствующим рассудку содержанием; это — своего рода √2. И, тем не менее, сама наличная норма рассудка, т.е. закон тождества и закон достаточного основания, приводит нас к такому сочетанию, требует, чтобы оно было исходным пунктом всего ведения». [2, C.59]    

Другими словами, трехипостасность Единого означает, что в таком термине сочетаются понятия, для нашей обычной логики несовместимые — в конечных дискретных терминах «единое (А)» не может быть «многим (не-А)». Но эта несовместимость единого и многого разрешается в Триединстве, включающем в себя и положительный дискретный термин, и отрицательный, что ведет к возникновению антиномии: 

P = ( p ∩ – p ) ∩ V.

«Антиномия есть такое предложение P, которое, будучи истинным V, содержит в себе совместно тезис и антитезис, так что недоступно никакому возражению». [3, C.152] Обозначение V (от лат. veritas, «истина») потребовалось здесь для того, чтобы обозначить необходимое условие, без которого приведенное определение антиномии уже не будет выражать собой истину, ибо формально тем же совмещением тезиса и антитезиса выражается определение лжи (символ Λ, перевернутое V):

Λ =  ( p ∩ – p ).

Возникает закономерный вопрос, как можно провести между истиной и ложью мыслительный водораздел, если и то, и другое должно совмещать в себе тезис и антитезис, если «по своему составу Р нисколько не разнится от простого противоречия Λ»? [3, C.152] Ведь введение в заблуждение всегда совмещает некое благое намерение ( p ) и дорогу в ад ( – p ). Если бы ложь не содержала ничего положительного, то обмануть человека было бы невозможно, не говоря уже про обман целых народов. Труднее всего уловить обман именно тогда, когда он настолько похож на правду, что и лжи-то в нем почти не содержится, а если содержится, то она так искусно замаскирована, что беглым взглядом ее не различить.

Зная о всей сложности антиномийных определений истины и лжи, Павел Александрович в комментариях к трактату делает важное наблюдение о том, что антиномией является уже само математическое понятие «бесконечность», которая может быть представлена в двух разновидностях — в бесконечности актуальной (∞А) и бесконечности потенциальной (∞P). Подобно Георгу Кантору, который видел в актуальной бесконечности трансфинитных чисел отражение божественного сверх-разума, на что со всей очевидностью указывает введенный им в математику каббалистический символ א (Алеф или Al-Eph, арамейский «Бог-Змий», изначальный свет Эйн Соф, заключенный в творении), Флоренский замечает, что актуальная бесконечность (∞А), которая «больше всякой конечной константы, как бы великой мы ее ни взяли», [1, C.496] претендует на выражение в себе божественного всемогущества. [1, C.496] Потенциальной бесконечности (∞P) он отводит весьма скромную роль «лишь предварительного определения бесконечности». [1, C.494] Но, как известно, попытка Кантора построить «всемогущее множество» Ω, включающее всю бесконечность трансфинитных ансамблей, потерпела крах. Чтобы спасти теорию Кантора и актуальную бесконечность, была создана система аксиом Цермело-Френкеля, запрещающая построение сверх-множеств, то есть могущество «канторовского бога» оказалось не таким беспредельным, как предполагал создатель «трансфинитного рая».

Мы получили, что актуальная бесконечность ∞А является завершенной, выразимой в виде ряда абстрактных символов, но ограниченной в области применения, а потенциальная бесконечность ∞P является незавершенной в силу того, что никогда не может быть проявлена полностью в виде неких символов или объектов, зато область ее применения ничем не ограничена. Две разновидности бесконечности можно рассматривать как тезис и антитезис. Тогда, используя формулу антиномии Флоренского, мы можем записать следующее выражение:

V  = ∞А ∩ ∞P

либо

Λ = ∞А ∩ ∞P.

Либо совмещение двух понятий о бесконечности ∞А и ∞P выражает собой истинное утверждение V, либо оно выражает собой ложное утверждение Λ. Если мы признаем V, то истинное представление о бесконечности должно нераздельно включать в себя тезис о ее завершенности (∞А) и антитезис о ее незавершенности (∞P). Если мы признаем Λ, то истинным представлением о бесконечности будет что-то одно: либо V = ∞А, либо V = ∞P.

Поскольку получить актуальную бесконечность (∞А), вообще не используя представление о потенциальной бесконечности (∞P), невозможно, то выбор сводится к двум формулам. Истинно либо V  = ∞А ∩ ∞P, либо V = ∞P. Но если истинно V  = ∞А ∩ ∞P, то V = ∞P окажется ложным! В этом случае, если ∞P ложно, ложным окажется вообще само наше предположение о существовании некой математической бесконечности. Значит, полученная на основе ∞P актуальная бесконечность ∞А тоже окажется ложной, что выразится формулой ∞P ∩ ∞А = Λ. Таким образом, признание истинным V  = ∞А ∩ ∞P приводит нас к парадоксальному тождеству:    

V = ∞А ∩ ∞P = ∞P ∩ ∞А = Λ,

то есть

V = Λ.

Из признания ∞А вытекает признание истинным ∞А и ∞P, из признания ∞А и ∞P вытекает тождество истины и лжи V = Λ. На языке религиозного мистицизма это означает, что в этом случае образы Христа и антихриста окажутся не их раз-личением, а неким двуипостасным тождеством «высшего истинно-ложного принципа». Поскольку наука признает концепцию актуальной бесконечности, то она, нигде об этом открыто не афишируя, признает именно такое тождество истины и лжи, более того, как атеистическая парадигма, отрицающая Бога, она на нем онтологически основана.     

 

 

Господь Бог и Древний Змий как ипостаси «сверх-разумной личности»? Не в этом ли великая тайна Вавилонской блудницы, вводящей в заблуждение посредством антиномий, формально неразличимых от истины? Не в этом ли состоит противозаконие антихриста, создающего иллюзию такого рая, где все возможно и нет никакого Логоса? Лишь заявив о равноправии жертвы и преступника, законного и незаконного, лишь самым противоречивым образом заявив, что у каждого «своя истина» и что «всякая истина исходит от бога», можно обмануть всех и над всеми возвыситься. Блудница и есть введение в заблуждение и коварная ложь Вавилона, сумевшего прельстить и приблизить к себе все народы. В самом деле, если взглянуть на тексты Евангелия и Апокалипсиса, то, как отмечает Павел Александрович Флоренский, они полны таких антиномийных символов, затрудняющих понимание скрытой за ними истины, что приводило на протяжении многих веков к противоречивым, порой взаимоисключающим толкованиям. 

 

 

Римско-католическая церковь наследует власть после зверств императора Нерона, которого многие исследователи называли прообразом антихриста. Затем, вслед за крестовыми походами и расправами инквизиции, возникает движение протестантов, которые в качестве антихриста рассматривают уже самого Понтифика. Исаак Ньютон в своих комментариях на книгу пророка Даниила и Апокалипсис доказывал то, что малым рогом зверя, «который был отличен от всех и очень страшен, с зубами железными и когтями медными» (Дан. 7, 19) является католическая церковь и Священная Римская империя, созданная Карлом Великим в 800 году.

Соответственно католики считали всех протестантов исполнителями антихристовой воли, а имя основателя протестантского движения Мартина Лютера анаграммой имени падшего ангела Люцифера. Действительно, натиск протестантизма вылился в череду затяжных европейских войн, эпидемий и революций, в результате которых возвысилась империя Наполеона, еще одного претендента на роль антихриста. Вслед за поверженным Наполеоном стало бурно развиваться научно-атеистическое учение, которое привело к возникновению коммунистической идеологии Карла Маркса и всемирному Интернационалу. Под предлогом борьбы с коммунизмом впоследствии голову поднял враг рода человеческого Адольф Гитлер, создавший общеевропейский культ фашизма. Падали царские династии, менялись правители и тираны, но, несмотря на все сверженные головы антихриста, исторический фрактал апокалипсического Зверя и Вавилонской блудницы продолжает существовать в наши дни, и каждый его виток воспроизводит новые головы Антихристовой гидры.

Если взглянуть на главный символ Соединенных Штатов — статую «Свободы, освещающую мир», то можно заметить, что возведена она так, чтобы в точности подходить под описание «великой блудницы, сидящей на водах многих» (Откр. 17, 1). Это сооружение, воздвигнутое на острове, в самом деле, напоминает как бы выходящую из моря женщину, держащую в руке кубок. Присмотревшись к подиуму статуи Свободы, сложенному в виде псевдозвезды, нетрудно подсчитать, что она состоит из десяти лучей и еще одного увеличенного луча — как десять рогов и один рог, который «стал больше прочих» (Дан. 7, 20). Что касается двуязычной и лживой политики Соединенных Штатов, прикрывающихся демократическими лозунгами и de facto попирающих весь мир, то здесь в общем-то и объяснять нечего.

Данные события политической истории всем хорошо известны, но мало кто знает, что весь этот разросшийся фрактал Зверя с зеркальной точностью отражает в себе непрерывное развитие научной парадигмы в различные эпохи от шестидесятеричной системы Вавилонской математики, которая метафорически и есть число Зверя, до наших дней, когда цифровые технологии позволяют удаленно манипулировать огромными массами, осуществляя тотальный контроль. Именно в Вавилоне, судя по находкам археологов, был найден арифметический способ, позволяющий получать очень точные приближения к √2, например, в коллекции Йельского университета хранится вавилонский квадрат, сторона которого в шестидесятеричной системе равна 30, а диагональ 42 + (25/60) + (35/60²), что в десятичных дробях дает приближение вплоть до пятого знака после запятой √2 ≈ 1,41421296(296). [4, C.61]

 

 

Математические знания Древнего Вавилона и Египта легли в основу учения Пифагора и всей пифагорейской математики, в рамках которой Гиппас из Метапонта в V веке до н.э. предложил свое доказательство «несоизмеримости» стороны и диагонали квадрата. Ссылаясь на непререкаемый авторитет имени Пифагора, которому по традиции приписывались все доказательства, Феодор, Теэтет и Архит в IV веке до н.э. создали свою теорию несоизмеримых величин. Любая критика этой теории жестко подавлялась в Афинской акадэмии. Например, Платон за отрицание атомистами доказательства Гиппаса призывал сжигать труды Демокрита. [5, C.22]

Притеснениям подвергся и Евдокс Книдский. Из учения Евдокса (I; V; VI и XII книги «Элементов» Евклида) [4, C.253-254] следовало, что геометрические величины будут находиться в некоторой пропорции (от лат. proportio, «соизмеримый»), «если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга». [6, C.142] Поэтому геометрически никакой разницы между соизмеримыми и несоизмеримыми отрезками нет. Об этом историк математики и исследователь Евклидовых «Элементов» М.Я. Выгодский писал следующее: «Тягостность этого подразделения хорошо известна всем изучавшим геометрию и преподававшим ее. Создавая видимость строгости, оно не дает ни логического, ни эстетического удовлетворения. Его искусственность усугубляется тем, что соизмеримые и несоизмеримые отрезки геометрически совершенно равноправны». [7, C.283]

 

 

На доказательство Гиппаса опиралась вся античная теория несоизмеримых отрезков, хотя в прямоугольнике со сторонами 3 на 4 диагональ по теореме Пифагора равна 5, то есть является соизмеримой величиной. Поэтому сам Аристотель указывал в «Первой аналитике» на логическую недостаточность теории несоизмеримых. [8, C.90] В своей «Метафизике» он объясняет, что метод четных и нечетных чисел, примененный Гиппасом, можно использовать только в арифметике четных и нечетных чисел: «Если доказано, что для противоположностей [соизмеримые и несоизмеримые величины] существует одна и та же способность [принимать только четные либо нечетные значения], тогда и знание о них будет одно и то же; здесь уже соглашаются и без предварительной оговорки, ибо ложность очевидна, например, если допустить, что диагональ соизмерима, то нечетное окажется равно четному». [9, C.195]

Так как в арифметике десятичных дробей четное число 2 обладает способностью принимать дробное значение 2 = 1,(9), то даже по правилам Аристотелевой логики доказательство Гиппаса для √2 теряет в современной математике свою доказательную силу. Неслучайно, как пишет математик Б.Л. ван дер Варден:  «До Архимеда дроби вообще не входили в официальную греческую науку. Но это объясняется не тем, что их не знали, но скорее тем, что их не хотели знать...». [4, C.68-69] И когда мы находим у Георга Кантора высказывание, что Леопольд Кронекер напрасно критикует теорию иррациональных чисел, которые были «всеми приняты со времен Пифагора и Платона согласно их природе», [10, C.98-99] то это весьма распространенное мнение, по большому счету, является масштабной фальсификацией истории науки. Как раз теория несоизмеримых являлась яблоком раздора в античной математике, и как раз для спасения этой теории античные ученые предпочитали не замечать существование дробей, выработав для этого сложный язык геометрической алгебры. Трактаты Архимеда и Аполлония, написанные таким неповоротливым языком, усваивались с трудом, их мало кто понимал, что предопределило быстрое угасание античной математики на самом пике ее развития.

В круговороте войн и людского безумия трижды была сожжена Александрийская библиотека: в период римских завоеваний, при становлении иудео-христианкой цивилизации и при образовании арабского халифата. На обломках старой античной науки выросла средневековая арабская математика. Пространный язык «греческой учености» был переведен Аль-Харезми на более гибкий язык алгебры. Поэтому математика вернулась в Европу позднего средневековья в очень фрагментированном состоянии, отчасти это была еще вавилонская, отчасти древнегреческая, отчасти арабо-индийская математика.

За основу, разумеется, были взяты Евклидовы «Элементы», хотя само здание новоевропейской науки собиралось из разных частей, как некая химера или тот же апокалипсический Зверь, подобный барсу с ногами медведя и пастью льва (Откр. 13, 2). Преемственность в передаче знаний носила настолько хаотичный характер, что на аксиоматические противоречия никто просто не обращал внимания. Если в «Арифметике» Михаэля Штифеля («Arithmetica integra», 1544) еще сохранялся тезис «irrationalis numerus non est verus numerus» (с лат. «иррациональные числа не есть истинные числа») как смутный отголосок проблемы, возникшей с их обоснованием в эпоху античности, то со времен Франсуа Виета, Пьера Ферма и Ренэ Декарта вся «схоластика» античных авторов была отброшена.

Метод координат Ренэ Декарта и разработанная им теория интервалов позволяли говорить о единой природе арифметики и геометрии. Тем самым картезианская система противопоставила себя аксиоме Аристотеля о разделении арифметического числа и геометрической величины. Именно благодаря Декарту классические иррациональности стали рассматривать в качестве действительных арифметических корней. Но историки математики, говоря об этом, всегда почему-то забывают сказать, на основании чего Декарт провел великое объединение иррациональных и рациональных чисел. Он был убежден, что тщательное изучение иррациональных чисел в дальнейшем позволит открыть их истинную «простую природу». В своих «Правилах для руководства ума» он высказывал подозрение, что античные авторы «из пагубной хитрости» утаили от потомков истинную математику, заменив ее другими, «остроумно выведенными истинами». [11, C.67]

 

Ренэ Декарт. Гравюра Этьена Фикэ

 

Возможно, Ренэ Декарт был единственным из всего поколения выдающихся математиков и философов XVII века, кто уже тогда интуитивно догадывался о наличии в математике скрытых противоречий. Все попытки выявления «пагубной хитрости» античных авторов не привели Рэнэ Декарта к желаемому результату. Однако сформулированная им эпистемологическая задача построения математики, в которой было бы снято фундаментальное противоречие между непрерывностью геометрических величин и дискретностью арифметических чисел никуда не исчезла. В дальнейшем она не была решена ни при открытии дифференциального исчисления Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем, ни при создании математического анализа в XVIII-XIX веках, ни введением трансфинитных чисел при создании теории множеств Георга Кантора.    

Как признавал в ХХ веке Абрахам Френкель, один из создателей системы аксиом теории множеств: «Преодоление пропасти между областью дискретного и областью непрерывного, или между арифметикой и геометрией, есть одна из главных, пожалуй, даже самая главная проблема оснований математики (…) Характер рассуждений теперь, конечно же, изменился, но трудности, как и прежде, возникли в связи с пропастью между дискретным и непрерывным – этим неизменным камнем преткновения, играющим чрезвычайно важную роль в математике, философии и даже физике». [12, C.12] 

Чтобы преодолеть эту пропасть и камень преткновения в математике Дэвид Гильберт в 1900 году на II Международном конгрессе сформулировал знаменитую проблему непротиворечивости арифметических аксиом (2-я проблема Гильберта). В пояснении к ней Гильберт писал, что «если какому-нибудь понятию присвоены признаки, которые друг другу противоречат, то я скажу, что это понятие математически не существует». [13, C.26]  Казалось бы, вот оно очевидное противоречие — в античной арифметике использовали аксиому неделимости единицы, при помощи которой была доказана теорема Гиппаса, а современная арифметика десятичных дробей подразумевает наличие аксиомы о возможности бесконечного деления единицы. Стало быть, понятие «единица» наделяется в математике признаками неделимости и бесконечной делимости, ссылаясь на слова самого Дэвида Гильберта, можно сказать, что в такой математике не существует основополагающего понятия — «единицы»!

В ходе многолетней работы Гильберту удалось установить необратимую зависимость аксиом геометрии от арифметики, то есть если в аксиомах арифметики содержится противоречие, то аналогичное противоречие должно проявиться в аксиомах геометрии, иначе говоря, в случае обнаружения противоречия в основаниях математики должна существовать проверка этого результата, позволяющая найти сразу два эквивалентных противоречия в арифметике и в геометрии. [13, C.26] 

В этом смысле Дэвид Гильберт оказался совершенно прав. Противоречие, эквивалентное вышеуказанному противоречию в арифметике, действительно существует в геометрии. Оно было обнаружено Алексеем Петровичем Стаховым при создании алгоритмической теории измерения. [14, C.26] Геометрческая аксиома Евдокса-Архимеда, задающая потенциальную бесконечность величин, эквивалентна аксиоме о бесконечной делимости единицы, тогда как аксиома Георга Кантора о двух стягивающихся в общую точку отрезках, задающая актуальную бесконечность, соответствует аксиоме неделимости единицы. Таким образом, понятие «бесконечность» в математике тоже наделено противоположными признаками незавершенности и завершенности, а значит, по определению того же Гильберта, в такой математике не существует другого основополагающего понятия — «бесконечности»!      

В течение трех тысяч лет возводилось здание «несуществующей» математики — царицы наук, которая, как оказалось, сидит на противоречивом Звере, «который был и которого нет» (Откр. 17, 11). Понятно, что не всякий способен осознать и признать настолько неприятное для науки положение вещей, но в ХХ веке были математики, которые открыто заявляли о противоречиях в ее основании. Так, голландский математик Лейтзен Эгберт Ян Брауэр поставил под сомнение доказательства почти всех классических теорем, доказанных методом «от противного» с применением принципа «tertium non datur» (с лат. «третьего не дано»). Он разработал интуиционистскую логику суждений, позволяющую выявлять истину в тех случаях, когда третье как раз дано.

 

 

Радикальный интуиционизм Лейтзена Брауэра привел к тому, что на него с разгромной критикой набросился Дэвид Гильберт, который вообще-то, как и подавляющее большинство математиков, верил в непротиворечивость математики: «То, что делают Вейль и Брауэр, есть ни что иное как возрождение идей Кронекера! Они стремятся спасти математику, выбрасывая за борт все то, что причиняет беспокойства...  Если бы мы приняли реформу, которую они предлагают, то подверглись бы риску потерять большую часть наших самых ценных сокровищ». [15, C.202] Пытаясь отстоять «общепризнанную» парадигму, Дэвид Гильберт заявлял: «Насколько у Кронекера было мало шансов упразднить иррациональные числа... настолько же маловероятен и успех Вейля и Брауэра. Брауэр не представляет собой революцию, как это считает Вейль, — только повторение попытки организовать Putsch». [15, C.204]

Но разве не Гиппас был зачинщиком первого настоящего путча — Кротонского погрома, физически устранившего всех его оппонентов? И разве можно считать «самыми ценным сокровищем» доказательство Гиппаса с применением фиктивных четных и нечетных чисел, которое в комментариях к трактату тайного общества математиков, писавших свои труды под псевдонимом Николя Бурбаки, названо «наилучшим классическим примером рассуждения от противного в математике»? [16, C.300] Чтобы ответить на эти вопросы, разберем явление «несоизмеримости» или иррациональности √2, воспользовавшись принципом противоречия по Колмогорову.

В статье «О принципе tertium non datur» математик Андрей Николаевич Колмогоров дополнил Гильбертову систему аксиом логики суждений аксиомой отрицания, выражающей собой принцип противоречия. В самом деле, без этого принципа нельзя обосновать корректное применение в математике метода «от противного» или reductio ad absurdum. [17, C.652]   

  

(5)  (А → В) → {( А → – В)  → – А}.

 

Смысл данной аксиомы таков: «Если из А следует и истинность, и ложность некоторого суждения В, то само суждение А ложно». [17, C.652]   Далее, поскольку обе Гильбертовы аксиомы отрицания не удовлетворяют Брауэровой интуиционистской логике суждений, Колмогоров вывел систему аксиом общей логики суждений, где наряду с четырьмя Гильбертовыми аксиомами следования берется интуиционистская аксиома отрицания (5), а также систему аксиом частной логики суждений, область применения которой ограничена и включает в себя аксиому (6) двойного отрицания:

 

(6)   – – А → А.

 

Затем Колмогоров в своей статье показывает, что из этих систем аксиом общей и частной логики суждений можно доказать все формулы «традиционной» логики суждений, что подтверждает полную справедливость введения Колмогоровым аксиомы (5). Математику, где принцип «tertium non datur» употребляется вне области его применения, Андрей Николаевич называет «псевдоматематикой», выводы которой обладают свойством «псевдоистинности». Но это свойство «псевдоистинности», как отмечает Колмогоров, интересно еще и тем, что с формальной точки зрения многие выводы истинной (т.е. непротиворечивой) математики могут оказаться ничем не отличимыми от выводов «псевдоистинной» (противоречивой) математики. К такому же, по сути, выводу о формальной неразличимости истины и лжи пришел в своей теодицее Павел Александрович Флоренский.

Для нас это означает, что арифметика целых чисел в истинной и «псевдоистинной» математике будет мало чем отличаться, пока мы не прибегнем к тождеству целого и дробного числа, такого как 2 = 1,(9). Расширенный философский смысл «почти неразличимости» заключается в том, что практически все высказывания истинного учения и «псевдоистинного» с формальной точки зрения могут совпадать. Научные теории до определенного момента могут ничем не отличаться от «псевдонаучных». На этом свойстве неразличимости истины и лжи основан весь процесс смены научных парадигм, описанный в замечательном очерке Томаса Куна «Структура научных революций». [18]  

Получив логическую формулу принципа противоречия, Колмогорову оставалось всего лишь привести конкретный пример суждений, в которых задействован данный принцип, чтобы получить негативное решение 2-й проблемы Дэвида Гильберта и со всей убедительностью доказать, что современная математика является «псевдоистинной». Но у него не было такой задачи, и, как ни странно, в течение всего XX века никто ни разу не воспользоваться аксиомой отрицания Колмогорова, хотя о ней написаны кипы статей в математических журналах, в которых переливается из пустого в порожнее.

А ведь все очень просто — пример лежит у всех на виду! Если мы признаем дробь √2=1,414... иррациональным числом или, что то же самое, бесконечной непериодической десятичной дробью, то при ее возвышении в квадрат мы на любом шаге вплоть до бесконечности будем получать значение вида:

√2² = 1,999х₁х₂х₃…,

где х₁х₂х₃… — хвост последовательности цифр, состоящей не только из девяток, потому что получить периодическое значение, состоящее только из девяток (9), перемножая некие неупорядоченные непериодические значения невозможно. Но в математике используется строгое арифметическое тождество √2² = 1,(9) = 2, из которого следует, что перемножение двух иррациональных чисел √2 • √2 дает рациональное число 2. Получаем:

Тезис A: √2 обладает свойством иррациональности (–ρ):

√2  –ρ

Тезис B: тогда произведение √2 • √2 обладает тем же свойством иррациональности –ρ:

√2 • √2  –ρ

Тезис –B: но произведение √2 • √2 = 1,(9) = 2 обладает строгим свойством рационального числа ρ:

√2 • √2   ρ

В таком случае выражение √2 тоже должно обладать свойством периодичности или рациональности ρ. То есть истинным окажется... 

Тезис –A: число √2 обладает свойством ρ рационального числа:

√2  ρ.

Вывод о рациональности √2 получен в полном соответствии с интуиционистской аксиомой отрицания (5) по Колмогорову: «Если из А следует В и не-В, то в действительности имеет место не-А»:

(А → В) → {( А → –В) → –А}.

Более того, мы можем подтвердить интерпретацию Колмогорова, согласно которой свойством «псевдоистинности» может обладать как стандартная математика, использующая принцип «tertium non datur», так и математика интуиционистская, если в ней продолжают использовать ту же систему арифметических аксиом S ввиду того, что никаких других систем аксиом «пока неизвестно». [19, C.62]  Действительно, несмотря на то, что интуиционисты Германн Вейль, Лейтзен Брауэр и Аренд Гейтинг активно разрабатывали теоретические основы интуиционизма, на практике они использовали ту же систему арифметических аксиом S, которую применяли все математики. Чтобы получить другую систему S_i, необходимо дополнить арифметическую аксиому эквивалентности дроби и целого значениями с избытком (+μ_n), так что для каждого целого числа будет выполняться тождество:

–μ_n = N = +μ_n,

где –μ_n и  +μ_n — соответственно бесконечные десятичные приближения на числовой прямой с недостатком и избытком к целому числу N. Тогда для числа 2 будет выполняться тождество бесконечных десятичных приближений:

1,999…∞ = 2 = 2,000…∞1.

Такое тождество, как показано в «Возвращении Орфея», позволяет получить необходимую для утверждения рациональности √2 пропорцию, но тождество вида –μ_n = N = +μ_n примечательно не только этим. Возвращаясь к антиномийному определению  трехипостасной истины Павла Александровича Флоренского, следует обратить внимание, что в этом тождестве как раз со всей достоверностью и с «непротивоствующим рассудку содержанием» выполняется тезис Триединства, поскольку для единицы можно записать:

0,999…∞ = 1 = 1,000…∞1.

Тем самым в арифметической концепции интуиционизма находит решение религиозно-философская задача на различение антиномийного определения истины в выражении «Троица во Единице и Единица в Троице» от антиномийной лжи. Троица во Единице имеет глубокий смысл, поскольку лишь триединое тождество целого и бесконечного к нему приближения с избытком и недостатком позволяет устранить пропасть между дискретным и непрерывным в математике, между конечным человеческим разумом и бесконечным божественным Логосом. 

В природе человеческой потенция разума, понимаемого как мыслительная активность, совмещена с конечным телом и воплощается в нем, поэтому в человеческом сознании становится возможна иллюзия актуальной бесконечности, иллюзия обретения в завершенной форме бесконечного по своим свойствам содержания. На этой иллюзии буквального воплощения в земном царстве бесконечного и вечного царства зиждется уверенность Вавилонской блудницы в безнаказанности внушаемого ею обмана, «ибо она говорит в сердце своем: "сижу царицею, я не вдова и не увижу горести!"» (Откр. 18, 7). Здесь мы вновь сталкиваемся с неразличимостью по внешним признакам Древнего Змия, на котором восседает блудница, и Господа Бога, так как в основе двух этих архетипических представлений лежит представление о Бесконечном.     

Неслучайно Вавилонская блудница и Древний Змий внешне удивительно точно повторяют образ Верховной Личности Бога и змея Ананта-Шеши, известный в санатана-дхарме или в индуизме. Данная антиномия выходит за рамки иудео-христианской культуры, поэтому мы можем с уверенностью говорить о внеисторичности архетипа Бесконечности, содержащегося в самом человеческом сознании.

  

 

Если Вавилонская блудница и антихрист, враг рода человеческого, связаны с числом Зверя и шестидесятеричной системой, в которой исчисляется время, то образ Верховной Личности Бога связан с десятеричной системой брахми и десятью аватарами Вишну, посредством которых в различные временные эпохи человечество спасается от демонических сил. Возникающий из лотоса бог-созидатель Брахмо, Господь Вишну и вселенский змей глубин Ананта-Шеши, в котором заключена энергия времени и разрушительная сила Шивы, составляют индуистскую Тримурти или триединую сущность Верховной Личности Бога. Богиня случайности или удачи Лакшми, сидящая у стоп Вишну, символизирует скрытые во вселенной причинно-следственные связи. Казалось бы, здесь возникает принципиальное отличие от образов христианского вероучения, но в тексте Апокалипсиса тоже говорится о Невесте Агнца, причем русское «невеста» (т.е. в буквальном смысле неизвестная) метафорически означает именно срытые причинно-следственные связи.

Но самым сложным образом и труднообъяснимым для самих браминов является змей Ананта-Шеша (санскр. «Бесконечно-Предельный»). Он выше гун материальной природы, его тело полностью духовно, однако через него посредством временных промежутков претворяются все божественные промыслы. Поэтому его называют повелителем Тамогуны, гуны невежества, из которой возникает ложное Эго обусловленных душ, когда «падшая душа начинает мнить себя Верховным Господом, для удовольствия которого существует весь мир» (Бхагавата-пурана 5, 25, 1).

Как из незавершенной потенциальной бесконечности вытекает возможность иллюзорной актуальной бесконечности, так же из нематериальной сущности Ананта-Шеши в низших мирах возникает соблазн присвоения атрибутов божественной истины тем или иным сущностям, воплощенным в материи. Например, это может быть стремление к обретению мирового господства или стремление к обретению бессмертия в смертном теле. Кстати говоря, как раз об этом вновь, как и во времена алхимиков, бредит наука, обманывая целое поколение людей иллюзиями создания полноценного искусственного разума, перемещения памяти живой души в микрочип и так далее. При этом сама наука, отрицающая Бога, но стремящаяся присвоить себе тайны бесконечности и саму истину, представляет собой как раз идею, возникшую от человеческого невежества. И даже если наука признает однажды существование Бога, что когда-то уже имело место в истории, это не будет гарантией того, что наука не содержит в себе лукавых «псевдоистинных» теорий. Точно так же ни одно вероучение, каким бы просветленным, искренним и чистым оно ни было основано, не застраховано впоследствии от «псевдоистинных» интерпретаций.      

Мыслительный водораздел истины и лжи, божественного и демонического, к которому подошел в своих трудах Павел Александрович Флоренский — это своеобразный порог, за которым разум вступает в тонкий мир архетипов сознания. Там, за этим порогом, находится решение всех антиномий — ведических, античных, апокалипсических, антиномий чистого разума Иммануила Канта и философско-математических антиномий, и этот порог предстоит перешагнуть каждому искателю истины.

Там, за пределами познанного, любые догматические теории впадают в неопределенность, там не существует рассудочных признаков, ориентируясь на которые можно приблизиться к истине. Но если разум достаточно подготовлен, интуиция может открыть за этим порогом непрерывные аналогии, которые окружают нас всюду, которые содержатся внутри нас, из которых состоит культура и сам человеческий разум. Мир архетипов не является застывшей абстракцией. Эта глубинная вселенная живет в каждом из нас, она и есть подлинная природа всякого разума, то энергетическое поле, которое человек видоизменяет и возделывает своими мыслями, но которое само питает его и оказывает на него воздействие, приближая сквозь времена и эпохи великие озарения и открытия.

 

Список литературы