Онтологические прогулки

Русская философия.

Совершенная математика 13

Основанием аксиоматизации геометрии, или обоснования геометрии, или,
наиболее точно, возникновения геометрии является
установление современным человеком факта единичности существования;
именно современным человеком, для которого установление факта
единичности происходит в форме единичности существования
себя (напомню, для магического человека – единичности рода),
или себя как единицы.

Соответственно, матрица единичности современного человека является
формообразующим элементом его целостности, заставляя его
(или, что то же самое, позволяя ему) воспринимать всё возможное
в этой матрице как отдельное, единичное; например,
воспринимая себя как тело (а это очень сложное и многоэлементное
восприятие), он воспринимает себя как отдельное, единичное тело
(магический человек воспринимал себя как часть тела рода, а
не отдельное тело).

Матрица единичности в предметном модусе внимания заставляет
современного человека воспринимать предметы как отдельное,
абстрактное, единицы, в пространственном модусе – как линии, фигуры,
тела. Именно поэтому математика (арифметика и геометрия)
возникает и развивается как практическая способность
современного человека и не нуждается для такого функционирования в
каком-либо дополнительном обосновании.

Однако предметная практическая направленность этой деятельности не
могла служить единственным основанием для человека, поскольку
– для тех, кого интересовало другое, кто стремился (фило) к
другому, математика была особой, не предметной возможностью
жизни, особым топосом реализации, совершенно не сводимым к
прагматике хозяйственных или каких бы то ни было
практических нужд.

Именно это обстоятельство не любят рассматривать как сами
математики, так и большинство историков культуры, для которых одно –
теория – совершенно не противоречит другому – практике, а
даже дополняет её. Именно поэтому непрояснённость для
современного человека самих основ математики не представляет
проблемы: практично, работает – достаточно.

Мне – не достаточно, мне не интересно быть математиком по
принуждению моей собственной природы, которая заставляет меня в
предметном внимании воспринимать мир «математически» и действовать
в соответствии с этим. Мне уже не интересно предметное
внимание, поэтому я стремлюсь к освоению своей собственной
природы с другим, не-предметным намерением совершенства, с
намерением целостности самого себя без тотального довления
предметности, которая превращает меня в вещь, а математику – в
отчуждённое от меня манипулирование.

Именно так я отношусь к появлению в античности философии и
действительной математики – как к реакции людей на то, каким образом
человек осваивает свою новую природу, самого себя как
современного человека; философия и всё, связанное с ней,
появляется как другое стремление, любовь к другому, совершенно
другому, принципиально отличному от наличного практицизма.

Сравним: «философия» – стремление к мудрости, «геометрия» –
измерение земли, следовательно тот, кто хочет быть мудрым, должен
измерять землю; именно так и понимает геометрию большинство:
научишься измерять – станешь философом. Мне такая философия
не интересна, думаю, Пифагору и Платону – тоже, так что
геометрия – не измерение земли, а что-то другое.

То есть философия возникла не как естественное продолжение, не как
развитие практики, не как необходимое теоретическое
осмысление и пр., философия возникла как альтернатива существующей,
набирающей ход практике, как попытка сформировать
принципиально другой способ жизни, способ отношения к самому себе и
миру, как принципиально другой тип бытия.

Но одновременно, с другой стороны, философия возникла не как
сакрализация человека, не как создание касты избранных, обладающих
особым тайным знанием, недоступным каждому; философия – не
эзотерия, не философская религия и пр..

Здесь важно выделить основной, необходимый для адекватного понимания
первых античных философов и того, как строится данное
размышление, принцип, а именно: намерение философов – стремление
к одновременному формированию и освоению современным
человеком самого себя как целостного существа, открытого стихии
творения, жизни. Соответственно, философия, математика являются
модусами формирования такого намерения.

«Геометрия» как «измерение земли», как практика с самого начала
своего возникновения развивает исключительно опредмеченный тип
деятельности.

Геометрия же как часть философии с самого начала своего
возникновения имеет прямо противоположную направленность – от
предметности к целостности человека; «гео–метрия» означает для
философа не измерение земли (даже в абстрактной форме), а измерение
землёй, познание самого себя как целостности в стихии
элемента земли, земля же для древних – положение и движение,
следовательно, возможны два типа геометрии – геометрия положений
и геометрия движения. Трудности геометрии Евклида
(возможно, только в принятой интерпретации) при всей её внешней
строгости, определяются именно смешением принципов положения и
принципов движения. Так, Евклид совмещает в последовательности
построения геометрии принципы движения (при задании
окружности или продолжении прямой) и принципы положения (при
задании прямых и углов).

Действительным значением геометрии является формирование и освоение
человеком самого себя как «движущегося» и «находящегося», то
есть как координированного. Геометрия – способ бытия
координированным, для единичного существа – современного человека
– это означает способ бытия координированных единичных
положений и движений (для магического, то есть родового существа
– координированность всех элементов рода в их
взаимоположении и взаимодвижении, отсюда, например, взаимоположение
человека и созвездий и пр.).

Именно на это было направлено внимание первых и пока последних
философов – античных, которые оставили нам то, что пожелали
оставить – стремление к, любовь (фило) к мудрости как целостному
бытию в отличие от практицизма как ущербного,
фрагментированного существования человека, причём мудрость – это то, что
живёт в каждом из нас и что может обнаружить тот, кто сможет
оторвать свой нос от земли, от глины своего интереса.

Аксиоматика геометрии положений

Аксиома 1. Точка – минимум положения (единица координации).

Определение 1.1 Точка неделима.

Определение 1.2 Точка не имеет размера, величины.

Аксиома 2. Множество из двух точек образует прямую линию.

Определение 2.1 Линия является множеством точек.

Определение 2.2 Точки линии не соприкасаются между собой.

Определение 2.3 Линия содержит две и только две точки.

Теорема 2.1 Поскольку точек две и они не соприкасаются между собой,
то их множество единственно и образует прямую линию.

Комментарий 2.1 Аксиоматика геометрии Евклида строится с
предположением трёхмерного пространства как наличного, поэтому в
аксиоме о прямой обозначаются «каждая» и «всякая другая» точки, то
есть любая точка уже существующего множества точек
(плоскости) прямой. Здесь можно заметить, что первый и второй
постулаты Евклида понимаются геометрами как определение отрезка
(прямой) и продолжения прямой далее одной из конечных точек
отрезка; однако, строго по тексту (не важно, что именно имел
ввиду сам Евклид) видно, что требование продолжения прямой
означает не продолжение за конечную точку отрезка, а любое
возможное увеличение прямой двух точек, что имеет совершенно
другой смысл. В аксиоматике, не предполагающей заранее
заданного пространства, а, тем более, мерности, сам тип
пространства задаётся типом аксиом; поэтому множество из двух точек
образует простую единственную (прямую) линию.

Определение 2.3 Прямая является равным самому себе множеством точек,
то есть простой и единственной линией двух точек, всегда
остаётся равной самой себе как множеству двух точек (Евклид:
«прямая линия есть та, которая сама в себе точками полагается
равной»).

Определение 2.5 Множество двух точек свободно относительно размера
(величины), не имеет ограничений ни в сторону увеличения, ни
в сторону уменьшения.

Определение 2.6 Прямая не может быть продолжена ни за одну из своих точек.

Аксиома 3. Координированное множество трёх точек, составленное из
одной прямой и одной свободной точки, образует плоскость как
множество всех возможных прямых, образуемых из элементов
начального множества.

Определение 3.1 Некоординированное множество – множество, в котором
ни одна из точек не скоординирована с какой-либо другой
точкой множества посредством линии.

Определение 3.2 Координированное множество – множество, в котором
хотя бы одна точка скоординирована с какой-либо другой точкой
множества посредством линии.

Теорема 3.1 Множество трёх нескоординированных точек образует
некоординированное множество.

Теорема 3.2 Множество трёх точек одной плоскости, состоящее из одной
прямой и одной свободной точки, образует частично
координированное множество.

Теорема 3.3 Множество трёх точек, состоящее из двух прямых, имеющих
одну общую точку, образует частично координированное
множество.

Теорема 3.4 Множество трёх точек, состоящее из трёх замкнутых
прямых, образует полностью координированное множество, то есть
фигуру – треугольник.

Определение 3.3 Угол представляет собой часть плоскости,
образованную сходящимися в одной точке прямыми (данной плоскости).

Определение 3.4 Сектор представляет собой часть плоскости,
образованную расходящимися из одной точки прямыми (данной плоскости).

Определение 3.5 Полностью замкнутые прямые данной плоскости образуют фигуру.

Теорема 3.5 Соотношения (внутренних) углов полностью замкнутых
прямых, то есть фигур, определяют тип фигуры.

Теорема 3.6 Фигура, в которой все внутренние углы равны, является
правильной фигурой.

Комментарий 3.1 Плоскость образуют любые координированные множества
трёх точек. Полностью координированное множество трёх точек,
представляющее собой треугольник, является фигурой
плоскости. Как это ни странно, но плоскость по определению имеет
форму треугольника, поскольку как бы мала или велика ни была
плоскость, её полная форма представляет собой треугольник.

Аксиома 3.1. Координированное множество четырёх точек одной
плоскости даёт множество четырёхугольных фигур или множество
многоугольных незамкнутых частей плоскости.

Определение 3.6 Некоординированное множество четырёх точек
образовано четырьмя нескоординированными точками.

Теорема 3.7 Множество четырёх точек одной плоскости, состоящее из
одной прямой и двух свободных точек, образует частично
координированное множество.

Теорема 3.8 Множество четырёх точек одной плоскости, состоящее из
двух прямых и одной свободной точки, образует частично
координированное множество.

Теорема 3.9 Множество четырёх точек одной плоскости, состоящее из
четырёх замкнутых прямых, образует полностью координированное
множество, то есть фигуру – четырёхугольник.

И т.д..

Теорема 3.Х Множество неопределённо большого количества (Х) точек
одной плоскости, состоящее из неопределённо большого числа
полностью замкнутых прямых, образует фигуру, называемую
окружностью.

Определение 3.10 Окружность, все внутренние углы которой равны,
является правильной окружностью.

Аксиома 4. Множество четырёх точек, состоящее из полностью
координированного множества трёх точек одной плоскости и одной
свободной точки, не принадлежащей данной плоскости, образует
координированное множество (нового типа пространства).

Определение 4.1 Полностью координированное множество, состоящее из
полностью координированного множества трёх точек одной
плоскости (фигуры) и полностью координированной с фигурой точки,
не лежащей в данной плоскости, образует тетраэдр (основанием
которой является фигура, а вершиной – данная точка).

Определение 4.2 Множество точек, образованное полностью
координированной с фигурой точкой, не лежащей в плоскости фигуры,
называется телом.

Комментарий 4.1 Интересно, что формообразующим элементом плоскости
оказался треугольник, а тела – тетраэдр, то есть всё, что
возможно в плоскости, происходит в топосе треугольника, а не
топосе некоего аморфного, можно сказать, безжизненного
плоского пространства, а всё, что возможно как тело – в топосе
тетраэдра, а не простирающегося без ограничений трёхмерного
пустого пространства. Ни плоскость, ни любое многомерное
пространство не является пустым неограниченным вместилищем, в
котором нечто осуществляется как возможное. Совсем нет, каждая
координация задаёт вполне определённый тип континуума:
треугольник задаёт плоскость, то есть плоскость всегда «внутри»
треугольника, а тело – «внутри» трёхгранной пирамиды,
континуума, который имеет вполне определённые характеристики и
которые ещё предстоит определить.

Разработанная здесь с ходу аксиоматика, скорее всего, ещё будет
скорректирована, но не в этом суть, здесь мне было важно
попробовать в действии другой тип мышления на материале, который,
во-первых, считается уже незыблемым, укоренённым в жизни
человека, и, во-вторых, мало знаком мне и, соответственно,
является поэтому определённым вызовом, понуждая меня становиться
другим.

Разрабатываемая здесь аксиоматика основывается исключительно на
последовательности и строгости мышления, а не очевидности
наглядности, которая при этом далеко не очевидна для мыслящего, а
не представляющего: например, окружность Евклид вводит в
третьем постулате не теоретически, а операционально, как будто
в геометрии можно делать всё, что можно делать, а потом
думать, что же это такое? Как в арифметике, в которой введение
нуля, отрицательных чисел и пр. как чисел, превратило
собственно числа в не поддающиеся определению элементы.

Трудности осмысления того, что введено на основании наглядности,
хорошо демонстрируют парадоксы Зенона: как можно мыслить
расстояние между двумя точками? Не измерять уже существующий
отрезок, а именно мыслить прямую? С наглядным понятно – оно
измеряется при введении меры, то есть, если определить расстояние
между черепахой и Ахиллесом, скорость и направление их
передвижения, то можно точно определить ту точку, в которой
Ахиллес догонит черепаху.

Но если между Ахиллесом и черепахой не отрезок, а прямая, то,
поскольку прямая свободна от размера (величины), то Ахиллес
никогда не преодолеет барьера неразмерности целостности прямой,
черепаха совершенно спокойно может не удаляться от Ахиллеса, а
двигаться ему навстречу, это нисколько не изменит их судьбы
остаться разделёнными «пустотой» целостности прямой. Именно
это скрывается в парадоксе Зенона, просто внимание человека
отвлекается загадкой соизмеримости пройденных героями
апории отрезков, но суть апории в том, что эти герои представляют
собой точки прямой, которые по определению прямой никогда
не могут соприкоснуться; прямая не имеет ограничения по
величине, поскольку вообще неразмерна, не имеет частей.

Умение отделить мыслимое от практикуемого необходимо тому, кто хочет
уметь это делать.

Также в апории о движении стрелы: в геометрии положений не
существует времени, поэтому нет движения; в каждый данный момент всё,
что есть, есть целиком. Например, прямая есть вся целиком
прямая, поскольку прямая не имеет частей и т.д. В геометрии
положений стрелы (прямые) не летают, и люди не ходят (даже
для демонстрации возможности движения), в геометрии всё уже
расположено, что расположено; и если что-то появится другое,
то так же будет уже расположено целиком (в момент означает
время описания, а не топоса положений).

Соответственно, необходимо очень чётко различать мыслимое (теорию) и
вычисляемое (соотносимое с вводимыми мерами, например,
локтем фараона или пятернёй математика), и разводить их по
разным департаментам. Это позволит не только отличать практику от
теории (это меня нисколько не волнует, так как выживаю я не
на кафедре математики), но – самое для меня важное – не
связывать теорию и практику отношением единственной и
неразделимой любви, что, во-первых, позволяет развивать теорию
независимо от существующей практики, и, во-вторых, строить новые
теории с новыми практиками, например, практиками непредметных
размерностей.

Так магический человек в качестве эталонов использовал не эталоны
предметов, а эталоны целостности, например, звучание созвездия
рода, воспроизведённое трубой из родового дерева (тот, кто
никогда не обращал внимания на звучание вообще, вряд ли это
поймёт) и координировал своё восприятие этим звучанием.

Почему я должен координироваться в целостности своей жизни эталонами
метра, секунды, грамма, запертых в сейфе какого-нибудь
института? Это делает меня человеком?

Совершенная наука может развиваться не только независимо от
существующей практики, но и – по определению совершенства как
координированной целостности – формировать практику,
переформатирующую предметность человека.