Онтологические прогулки

Русская философия.

Совершенная математика 14

Размышление показывает мне, что к любой современной науке необходимо
подходить очень внимательно, тщательно отделяя то, что является
важным и существенным для современного человека как целостности,
от того, что взяло на себя роль определяющего признака человеческой
природы – вещности, то есть предметности, принимаемой человеком
за единственный модус бытия.

То, каким образом это осуществляется в классической и современной
философии, было рассмотрено раньше – в «Помойном ведре философии»,
но всё равно для меня оказалось несколько неожиданным то, что
и в математике положение дел точно такое же, как в философии.
Разница только в том, что большинство, как специалистов, так и
просто людей, не замечают, насколько их жизнь определяется тем,
что разработано в философии: люди считают, что математика широко
проникла практически во все области человеческой жизни, тогда
как философия – лишь в несколькие и далеко не определяющие.

Приятное, может быть, но совершенно ошибочное представление: человек
«пропитан» философией ничуть не меньше, чем математикой, если
же учесть тот факт, что математику как науку основали и развивали
философы, то можно достаточно уверенно констатировать, что философия
определяет (формирует) современного человека намного более всесторонне,
чем любая наука, математика – в том числе.

Далее, размышление показало, что математика возникла и развивается
в основном и по преимуществу на практических основаниях, которые
представляют собой опредмеченное внимание современного человека.
При условии рассмотрения предметного внимания как единственного
основания человеческой деятельности, оно превращается в критерий,
эталон и цель любой другой деятельности человека; именно таким
образом мышление современного человека с самого начала своего
возникновения было практически полностью ориентировано на наличную
математическую практику как единственно возможную.

Это предопределило её практический (операциональный) характер,
а именно: всё, что уже было в наличии, например, древняя система
обозначений, и всё, что только можно было получить посредством
манипулирования ею, признавалось математикой. При этом вскоре
встал вопрос о границах математики и способах определения, относится
ли нечто как результат манипуляций (термин «манипуляция» я употребляя
не потому, что критикую математику, а потому, что его значение
– действие с тем, что не ты сам) к математике или нет.

Так появилось требование доказательства достоверности некоторого
утверждения, или его непротиворечивости и пр., то есть так появилась
теория как осмысление наличной практики; соответственно, теория
ценилась только в том случае, если она тем или иным образом «помогала»
практике, например, систематизировала и унифицировала терминологию,
обозначение и пр.

Это широкая, в античности просто протоптанная, потом вымощенная
камнем в новое время и, наконец, заасфальтированная сегодня –
прагматизмом, дорога современной математики.

Но существует гораздо более узкая, но действительная, настоящая,
целостная, совершенная математика, для которой опредмеченность
человека представляет собой лишь одну из сторон жизни человека,
а не его единственную и определяющую особенность.

Эта математика возникла также в античности и как реакция на стремительно
расширяющийся прагматизм (особенно это проявляется у Пифагора),
и как реализация возможности другого направления внимания и, соответственно,
другого типа бытия.

Так ко времени «Начал» Евклида обе тенденции математики уже были
вполне развиты, и, в принципе, тенденция теории была бы полностью
обречена на полное вымирание, если бы не одно важное обстоятельство:
достаточно быстро исчерпав внутренние ресурсы, практика могла
соответствовать ставящимся перед ней задачам только посредством
определённого расширения своих возможностей, а они-то как раз
формируются в теории, то есть там, где вообще происходит всякое
формирование – в стихии становления; только поэтому теоретическая
математика всё ещё скорее жива, чем мертва.

Рассмотрение начал арифметики как науки о числе и геометрии как
науки о точке показало, что уже ко времени Евклида нескоординированность
основных элементов математики с практикой их употребления задало
её развитию тенденцию «вынужденного сожительства», в котором всё,
что могла, определяла и до сих пор определяет практика, а в том,
чего не могла практика, определяла теория, которая, в свою очередь,
не то, чтобы не могла развиваться совершенно самостоятельно, сколько
не очень-то хотела, чувствуя, что ею манипулируют.

Практика не могла определить свои начала и принципы развития потому,
что ей это и не надо, пока получается, и снова становится не надо,
когда снова начинает получаться; в небольшие же промежутки между
этими «не надо» практика слезала с насиженной спины теории, позволяя
той немного расправить плечи и заглянуть чуть дальше обычного,
тут же усаживаясь обратно и ещё больше прижимая теорию к земле
своего интереса.

Сама математика считает, что она возникла из счёта, который, во-первых,
«узаконивает» наличную систему обозначений как упорядоченную,
и, во-вторых, позволяет расширять эту систему обозначений посредством
построения различных вычислений.

На резонный вопрос философа:

- а почему до вас, господа, никто не считал?

современный математик, скромно потупившись, отвечал:

- это всё практические нужды: в Египте разливы Нила смывали границы
участков плодородной земли; в Ассирии и Шумере никак не
могли определиться, где же кончается их царство, и,
следовательно, земля вообще; а в Греции зашли в тупик при попытке
посчитать, сколько же у них мудрецов, если ни один из них ещё не
познал самого себя.

- Но сами по себе задачи не содержат принципа своего решения, иначе
они были бы уже решены.

- Да – математик уже смотрит прямо, – это наша заслуга: мы
сообразили, что у нас на руке пять пальцев, и, перебирая каждый из
них по очереди, мы получаем принцип, по которому можем решить
все эти задачи.

- То есть вы стали считать только тогда, когда припёрло? А как же вы
объясняете себе, что древние изобрели системы счёта:
десятичные, дюжинные и пр., а считать при этом не умели?

- Ну, как-то умели, просто у них не было необходимости решения таких
масштабных задач, – пытается выкрутиться математик.

- Так чем же вы отличаетесь от них, если пользуетесь той же самой
древней системой? Почему они считали плохо, хотя при этом
создали совершенную систему обозначений, а вы – хорошо, не
создав при этом никакой своей системы, а пользуясь старой,
созданной теми, кто считал намного хуже, чем вы; для решения своих
масштабных проектов могли бы ввести свою собственную,
например, пальцевую систему счёта?

- Да пальцы я упомянул только для примера, – наши вычисления
сложные, их на пальцах не покажешь но мы модернизировали, развили
старую систему! с помощью чисел мы стали считать, то есть
вычислять большие количества предметов, например, камешков,
когда решали, виновен Сократ или нет.

- Но числа древней системы и так показывают количество, число пять
обозначает количество из пяти предметов, например, количество
так любимых тобой пальцев одной руки. Зачем ещё что-то
делать с числами, когда они и так уже показывают (обозначают)
количество? Те же греки определили вину Сократа, не
пересчитывая камешки по одному, а просто разложив их на равные кучки
по семь в каждой, после чего легко и точно и без всякого
счёта определили вину Сократа.

- Эта дрянная куча камней – не количество, возмущается математик, –
количеством она становится только тогда, когда я их, каждый
камешек за камешком, пересчитаю!

- Подожди, тогда при чём тут числа? Если ты считаешь каждый камешек
за камешком, то у тебя есть только одно число – единица, а
все остальные числа – просто множества нескольких единиц: два
– это множество двух единиц, три – трёх, сто тысяч – ста
тысяч единиц, так что все последующие числа представляют собой
последовательность, строящуюся по принципу шагового
увеличения на единицу. Соответственно, существует только одно число
– единица и одна операция – увеличение на единицу, не так
ли?

- Нет, подожди! Одно число, одна операция! А откуда взялась система
вычислений: один, два, три и т.д., её же не мы придумали?

- Да, не вы; тот, кто придумал, не считал, а обозначал: каждому
восприятию определённого количества предметов он давал
соответствующее имя, например, семь, а для обозначения большего
количества он использовал сочетание имён, например, тридцать
семь; помню, мой дед рассказывал, что он однажды пас коз и в
стаде в этот день оказалось как раз тридцать семь коз, а
тридцать семь – очень зловещее число, поэтому в тот день при ясном
небе гремел гром и сверкала молния, да ещё он потерял
посох, так что тридцать семь точно для него зловещее число.

- А как же он узнал, что в стаде было тридцать семь коз, если не считал?

- Он легко воспринимал несколько десятков предметов, не прибегая ни
к какому счёту, помнишь, как человек дождя – рейнмен – видел
количество спичек, не считая, он просто видел; подобное
явление не так уж редко. Здесь я могу добавить, что ребёнок
тоже не считает, так как не может до подросткового возраста
образовывать абстрактные понятия, то есть не может обращаться с
предметами как абстрактными единицами, и только после того,
как он пройдёт стадию образования «комплексных понятий» (по
Выготскому), то есть стадию объединения предметов в одно
множество по несущественным признакам, он может уже
образовывать действительные понятия, в том числе и числа как множества
однородных единиц, или просто единиц. Очень может быть, что
современный человек практически всю свою жизнь в
непосредственном восприятии предметов как количества использует
оставленную ему в наследство способность непосредственного
восприятия, а не счёт. Например, вы встречаетесь со своей семьёй на
дне рождения бабушки, у которой есть приличное наследство,
что обеспечивает полный состав родственников, за столом вы
не пересчитываете их, вы просто видите, кто есть, а кого нет.

- Хорошо, уберём гром и молнии, бабушек с наследством, и остановимся
на числах. Если единица – единственное число, то что такое
ноль, дроби, число «пи» и пр.?

- Ноль первоначально был введён как переход от одного разряда
обозначений к другому, показывая отсутствие единиц
соответствующего разряда, например, в 100 правый нуль обозначает отсутствие
единиц, левый – десятков; впоследствии ноль стал также
обозначать результат вычислений, который показывал именно
отсутствие единиц, то есть равенство сравниваемого, например,
данного в долг и полученного как возвращение долга, то есть
можно определить ноль и так – «пустое множество единиц», или как
известный герой называл это «мёртвого осла уши» и «дыркой
от бублика». Дроби, отрицательные числа, также как и ноль
получены как результаты операций с числами, например,
отрицательные числа представляют собой отсутствие некоторого
количества, а дроби – соотношение чисел как множеств единиц,
например, отношение множества двух единиц к множеству трёх единиц.
Здесь мне вспоминается анекдот: в аудитории один
преподаватель и два студента, когда из аудитории выходят пятеро,
преподаватель говорит: если войдут двое, в аудитории никого не
останется.

- Ты о чём?

- Я о том, с какой лёгкостью математики оперируют разнородными
элементами как однородными, мало заботясь о том, что получится в
результате, главное, чтобы его можно было записать в виде
математического предложения, а при неконтролируемо расширенной
системе обозначений, где любой полученный результат
объявляется самостоятельным математическим элементом, записать
математически можно практически всё, что угодно.</li>

- Ты забыл число «пи».

- С «пи» ситуация сложнее, чем с нулём, дробями и отрицательными
числами, поскольку оно получено в результате вычислений на
окружности, а окружность в геометрии Евклида введена не
аксиоматически, а операционально; по крайней мере для меня это
совершенно разные типы геометрического построения; поскольку же я
не могу наглядность принимать за мышление, то далеко не
всё, что видится очевидным, таковым и является; возможно,
именно поэтому число «пи» и видится геометрам трансцендентным, то
есть недоступным человеку и данным независимо от него. То
есть они произвели трансцендирующую операцию, такую же, как
умножение и деление на ноль, показывающие только то, что эти
операции не имеют математического смысла, даже если их можно
записать в виде математического вычисления; если я,
например, умножу результат упомянутого выше возвращения долга, то
есть отсутствие какой-либо величины на 4, то я с таким же
успехом могу умножить мёртвого осла уши на 4.

- То есть ты полагаешь, что окружность не существует как
геометрический предмет, если да, то с чем же мы работаем?

- В практике геометрии окружность существует, но что это такое сами
геометры не знают.

- Как это не знают! Окружность есть множество точек, равноудалённых от центра.

- То есть окружность представляет собой множество равных отрезков,
имеющих одну общую точку, называемую центром?

- Нет, множество точек!

- Как получено это множество?

- С помощью циркуля, или как в третьем постулате Евклида: вращением
данной прямой вокруг одной из её точек.

- Да, это я знаю, но где критерий того, что любой возможный рисунок
является геометрической фигурой, подобной, например,
треугольнику? Евклид определил точку, прямую, плоскость, но
окружность ввёл как действие, а что такое движение в геометрии,
помнишь Зенона: как летит стрела в геометрии? Что такое
движение в геометрии, если в каждый момент рассмотрения стрела
занимает определённое место?

- Что ты всё мудришь; посмотри на колесо своего жигулёнка и ты
увидишь, как появляется окружность; а если ты можешь это ещё и
начертить, то есть представить в виде точек, линий, фигур, то
значит, это относится к геометрии!

- То есть правило просто: всё, что можно себе геометрически
представить, является элементом геометрии. Например, я представляю,
как плоскость этого стола продолжается во все стороны
сколько возможно далеко и, соответственно, я должен именно таким
образом мыслить плоскость, далее, точно так же, я
представляю, как пространство этого кафе лишается стен и продолжается
во все возможные стороны максимально далеко, поэтому именно
так я должен мыслить евклидово, то есть 3х мерное
пространство?

- А что, не так?

- Современная физика говорит мне, что не так: пространство
«искривлено» материей, а никакое представление мне это не показывает:
вот стойка бара, она нисколько не искривляет моё восприятие
пространства. Философы полагают, что пустого (аморфного)
пространства не существует, оно заполнено и, следовательно, не
может быть однородным и пр.; может быть, геометрия не
изучает какое-то существующее пространство, а сама формирует его,
и, в зависимости от того, какое пространство сформируется
вместе с её усилием, осваивает его как наличное, то есть
человек сам участвует в формировании пространства, в котором он
сам же себя и находит, и к которому ему приходится
адаптироваться как пространству своей жизни?

- Ну вот, как обычно: ты начал с придирок к науке по пустякам, а
закончил тем, что вообще сделал её виновной в том, как устроен
мир.

- Но как я могу доверять истине, что дважды два четыре, если наука
не знает, что такое число? Вот на плакате при въезде в
область, где мой дом, написано, что в этом году в сельское
хозяйство области вложено 800 миллионов рублей, но вокруг моего
дома не осталось ни одной фермы и ни одного вспаханного поля,
чему мне доверять? Какому числу верить: написанному в
ведомости и идущему в бюджет, или сумме номинала банкнот в моём
кармане? Чему верить: тому, что молоко в пакете из цельного
молока, или тому, что срок его годности до декабря, а на дворе
июнь? И т.д. Поэтому я охотно верю, что в этом мире
существуют и отрицательные, и иррациональные, и трансцендентные, и
мнимые, и какие угодно ещё числа и построения, только они не
имеют никакого отношения к тому, что интересно мне.

- Да ты, брат, считаешь себя особым, а мы плевки под ногами.

- Раз уже ты вспомнил Венечку, друг, то я пукаю так же, как все
математики, только не считаю это очевидное и наглядное тем, в
соответствии с чем я должен мыслить.

Манифестируя очевидность окружности Евклида колёсами своего жигуля
(на самом деле он не мой), я раздумывал над тем, а почему математика
не может нести на себе все те особенности нашего времени, которые
несёт всё остальное: наука, общество, экономика, политика, культура
и пр.? Как раз самым уважительным отношением к математике является
понимание её как действительного элемента современного общества,
со всеми его плюсами и минусами; так что прояснение этого может
послужить ей хорошую службу, если, конечно, кто-то этим озаботится.